5146. Složena funkcija i inverzna funkcija

Podsetimo se definicije: ako je $f:A\to B$ i $g:B\to C ,$ složena funkcija $g\circ f$ definisana je sa $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ za svako $x\in A .$ Jednostavno rečeno: prvo izračunamo unutrašnju funkciju $f(x) ,$ a zatim dobijeni rezultat ubacimo u spoljašnju funkciju $g .$ Zato je složena funkcija definisana samo za one $x$ za koje je $f(x)$ definisano i vrednost $f(x)$ pripada oblasti definisanosti funkcije $g .$

Izraz $f(f(f(x)))$ znači da funkciju $f$ primenimo tri puta zaredom. Treći koren postoji za svaki realan broj (i za negativan, npr. $\sqrt[3]{-8}=-2$ ), pa je jedino ograničenje da imenilac nije nula: $1-x^3\neq0 ,$ tj. $x\neq1 .$

Računanje će biti lakše ako umesto same funkcije posmatramo njen kub. Dizanjem na treći stepen treći koren nestaje:

\big(f(x)\big)^3=\frac{1}{1-x^3}

Funkcija $f$ u stvari radi ovo: od broja $u$ izračuna $1-u^3 ,$ pa uzme recipročnu vrednost trećeg korena. Za drugu primenu nam treba $1-\big(f(x)\big)^3 :$

1-\big(f(x)\big)^3=1-\frac{1}{1-x^3}=\frac{1-x^3-1}{1-x^3}=\frac{-x^3}{1-x^3}=\frac{x^3}{x^3-1}

Ovaj izraz ne sme biti nula (jer je u imeniocu), pa mora biti $x\neq0 .$ Tada je:

f(f(x))=\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{x^3}{x^3-1}}}=\sqrt[3]{\frac{x^3-1}{x^3}}=\frac{\sqrt[3]{x^3-1}}{x}

Ponavljamo isti postupak za treću primenu. Kub od $f(f(x))$ je $\frac{x^3-1}{x^3} ,$ pa je:

1-\big(f(f(x))\big)^3=1-\frac{x^3-1}{x^3}=\frac{x^3-(x^3-1)}{x^3}=\frac{1}{x^3}

Ovaj izraz nikad nije nula, pa nova ograničenja nema. Treći koren od $\frac{1}{x^3}$ je $\frac1x ,$ a recipročna vrednost od $\frac1x$ je $x :$

f(f(f(x)))=\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{x^3}}}=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x

Provera za $x=2 :$ $f(2)=\frac{1}{\sqrt[3]{-7}}=-\frac{1}{\sqrt[3]{7}} .$ Kub tog broja je $-\frac17 ,$ pa je $f(f(2))=\frac{1}{\sqrt[3]{1+\frac17}}=\sqrt[3]{\frac78} .$ Kub tog broja je $\frac78 ,$ pa je $f(f(f(2)))=\frac{1}{\sqrt[3]{1-\frac78}}=\frac{1}{\sqrt[3]{\frac18}}=\frac{1}{\frac12}=2 .$ Zaista smo se vratili na $2 .$

Rešenje: $f(f(f(x)))=x ,$ za $x\notin\{0,1\} .$

Započni učenje

Online časovi

106

Beleške