5143. Složena funkcija i inverzna funkcija

Podsetimo se definicije: ako je $f:A\to B$ i $g:B\to C ,$ složena funkcija $g\circ f$ definisana je sa $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ za svako $x\in A .$ Jednostavno rečeno: prvo izračunamo unutrašnju funkciju $f(x) ,$ a zatim dobijeni rezultat ubacimo u spoljašnju funkciju $g .$ Zato je složena funkcija definisana samo za one $x$ za koje je $f(x)$ definisano i vrednost $f(x)$ pripada oblasti definisanosti funkcije $g .$

Izraz $f(f(x))$ je složena funkcija $f\circ f :$ funkciju $f$ primenimo dva puta zaredom. Prvo izračunamo $f(x) ,$ a zatim taj rezultat ponovo ubacimo u $f .$ Slično, $f(f(f(x)))$ znači da $f$ primenimo tri puta, tj. rezultat $f(f(x))$ još jednom ubacimo u $f .$

Funkcija $f(x)=\frac{1}{2x}$ je definisana za $x\neq0 .$ Da bismo $f(x)$ smeli ponovo da ubacimo u $f ,$ mora i $f(x)\neq0 .$ To je uvek ispunjeno, jer je razlomak sa brojiocem $1$ uvek različit od nule. Dakle, jedino ograničenje je $x\neq0 .$

Umesto $x$ u formulu $\frac{1}{2x}$ pišemo $\frac{1}{2x} .$ Dvojka se skrati, a deljenje razlomkom $\frac1x$ je isto što i množenje sa $x :$

f(f(x))=\frac{1}{2\cdot\frac{1}{2x}}=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x

Dvostruka primena vraća broj na početak. Zato je treća primena isto što i jedna:

f(f(f(x)))=f\big(f(f(x))\big)=f(x)=\frac{1}{2x}

Provera za $x=2 :$ $f(2)=\frac14 ,$ zatim $f\left(\frac14\right)=\frac{1}{2\cdot\frac14}=\frac{1}{\frac12}=2 ,$ pa $f(2)=\frac14 .$ Slaže se sa formulama.

Rešenje: $f(f(x))=x$ i $f(f(f(x)))=\frac{1}{2x} ,$ za $x\neq0 .$

Započni učenje

Online časovi

105.b

Beleške