5139. Složena funkcija i inverzna funkcija

Podsetimo se definicije: ako je $f:A\to B$ i $g:B\to C ,$ složena funkcija $g\circ f$ definisana je sa $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ za svako $x\in A .$ Jednostavno rečeno: prvo izračunamo unutrašnju funkciju $f(x) ,$ a zatim dobijeni rezultat ubacimo u spoljašnju funkciju $g .$ Zato je složena funkcija definisana samo za one $x$ za koje je $f(x)$ definisano i vrednost $f(x)$ pripada oblasti definisanosti funkcije $g .$

Spoljašnja funkcija je $y=\sqrt{1-x} .$ Kvadratni koren je definisan samo za broj koji nije negativan, pa mora biti:

1-x\geq0 \iff x\leq1

Dakle, u funkciju $f$ smemo da ubacimo samo brojeve koji su najviše $1 .$ Pogledajmo koje vrednosti daje unutrašnja funkcija $x=t^2+4 .$ Kako je $t^2\geq0$ za svako $t ,$ dodavanjem $4$ dobijamo:

x=t^2+4\geq4

Na primer, za $t=0$ je $x=4 ,$ za $t=1$ je $x=5 ,$ za $t=-3$ je $x=13 .$ Unutrašnja funkcija uvek daje broj koji je najmanje $4 ,$ a spoljašnja prihvata samo brojeve koji su najviše $1 .$ Ta dva zahteva ne mogu biti ispunjena istovremeno:

1-x=1-(t^2+4)=-t^2-3\leq-3<0

Izraz pod korenom je uvek negativan, pa se $\sqrt{-t^2-3}$ ne može izračunati ni za jedno realno $t .$

Rešenje: složena funkcija $y=f(g(t))$ nije definisana ni za jedno realno $t$ (oblast definisanosti joj je prazan skup).

Započni učenje

Online časovi

104.b

Beleške