5144. Složena funkcija i inverzna funkcija

Podsetimo se definicije: ako je $f:A\to B$ i $g:B\to C ,$ složena funkcija $g\circ f$ definisana je sa $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ za svako $x\in A .$ Jednostavno rečeno: prvo izračunamo unutrašnju funkciju $f(x) ,$ a zatim dobijeni rezultat ubacimo u spoljašnju funkciju $g .$ Zato je složena funkcija definisana samo za one $x$ za koje je $f(x)$ definisano i vrednost $f(x)$ pripada oblasti definisanosti funkcije $g .$

Izraz $f(f(x))$ je složena funkcija $f\circ f :$ funkciju $f$ primenimo dva puta zaredom. Prvo izračunamo $f(x) ,$ a zatim taj rezultat ponovo ubacimo u $f .$ Slično, $f(f(f(x)))$ znači da $f$ primenimo tri puta, tj. rezultat $f(f(x))$ još jednom ubacimo u $f .$

Funkcija $f$ je definisana za $x\neq-2 .$ Za $f(f(x))$ mora i $f(x)\neq-2 .$ Proverimo kada je $f(x)=-2 :$

\frac{x-1}{x+2}=-2 \iff x-1=-2x-4 \iff 3x=-3 \iff x=-1

Dakle, za $f(f(x))$ izbacujemo $-2$ i $-1 .$ Funkcija $f$ od broja oduzme $1$ i podeli ga brojem uvećanim za $2 .$ Primenjujemo to na $f(x) ,$ pa najpre posebno sređujemo brojilac i imenilac:

f(x)-1=\frac{x-1}{x+2}-\frac{x+2}{x+2}=\frac{-3}{x+2}, \qquad f(x)+2=\frac{x-1}{x+2}+\frac{2x+4}{x+2}=\frac{3x+3}{x+2}

Delimo ova dva razlomka. Imenioci $x+2$ se skrate, a zatim skratimo i trojku:

f(f(x))=\frac{f(x)-1}{f(x)+2}=\frac{\frac{-3}{x+2}}{\frac{3x+3}{x+2}}=\frac{-3}{3(x+1)}=-\frac{1}{x+1}

Za treću primenu mora i $f(f(x))\neq-2 :$

-\frac{1}{x+1}=-2 \iff x+1=\frac12 \iff x=-\frac12

Na isti način primenjujemo $f$ na $u=-\frac{1}{x+1} :$ računamo $u-1$ i $u+2 ,$ pa ih delimo:

u-1=\frac{-1-(x+1)}{x+1}=\frac{-(x+2)}{x+1}, \qquad u+2=\frac{-1+2(x+1)}{x+1}=\frac{2x+1}{x+1}

Količnik (imenioci $x+1$ se skrate):

f(f(f(x)))=\frac{u-1}{u+2}=\frac{-(x+2)}{2x+1}=-\frac{x+2}{2x+1}

Provera za $x=0 :$ $f(0)=-\frac12 ,$ $f\left(-\frac12\right)=\frac{-\frac32}{\frac32}=-1 ,$ $f(-1)=\frac{-2}{1}=-2 .$ Formule daju $-\frac{1}{0+1}=-1$ i $-\frac{0+2}{0+1}=-2 .$ Slaže se.

Rešenje: $f(f(x))=-\frac{1}{x+1}$ za $x\notin\{-2,-1\} ,$ i $f(f(f(x)))=-\frac{x+2}{2x+1}$ za $x\notin\left\{-2,-1,-\frac12\right\} .$

Započni učenje

Online časovi

105.g

Beleške