Svojstva realnih funkcija

Primer: Odrediti nule i znak funkcije $y=\dfrac{x^2+4x-21}{x^2+3x-4}$.

Rastavljamo brojilac i imenilac na činioce:

Imenilac ne sme biti nula, pa je $D=\mathbf{R}\setminus\{-4,1\}$. Brojilac je nula za $x=-7$ i $x=3$, a oba broja pripadaju domenu, pa su to nule funkcije.

Tačke $-7$, $-4$, $1$ i $3$ dele pravu na pet intervala:

Funkcija je pozitivna za $x\in(-\infty,-7)\cup(-4,1)\cup(3,+\infty)$, a negativna za $x\in(-7,-4)\cup(1,3)$.

Primer: Odrediti nule i znak funkcije $y=\log_3(x^2-5x+7)$.

Dopunjavanjem do potpunog kvadrata vidimo da je argument uvek pozitivan:

pa je funkcija definisana za svako $x$. Osnova je $3>1$, pa je logaritam nula kada je argument $1$, a pozitivan kada je argument veći od $1$:

Nule su $2$ i $3$. Funkcija je pozitivna za $x\in(-\infty,2)\cup(3,+\infty)$, a negativna za $x\in(2,3)$.

Primer: Odrediti nule i znak funkcije $y=\sqrt[3]{(x-2)^2(x+1)}$.

Treći koren postoji za svaki realan broj i ima isti znak kao broj ispod korena. Zato ispitujemo izraz $(x-2)^2(x+1)$.

Nule su $x=2$ i $x=-1$. Činilac $(x-2)^2$ je pozitivan za svako $x\ne2$, pa znak određuje samo $x+1$. Funkcija je negativna za $x<-1$, a pozitivna za $x\in(-1,2)\cup(2,+\infty)$.

Primer: Odrediti nule i znak funkcije $y=\dfrac{1-\ln x}{1+\ln x}$.

Logaritam zahteva $x>0$, a imenilac ne sme biti nula: $\ln x\ne-1$, tj. $x\ne\frac1e$. Dakle, $D=\left(0,\frac1e\right)\cup\left(\frac1e,+\infty\right)$.

Nula je tamo gde je brojilac nula: $\ln x=1$, tj. $x=e$.

Za znak uvodimo smenu $t=\ln x$ i ispitujemo $\frac{1-t}{1+t}$:

Funkcija $\ln x$ je rastuća, pa uslov $-1<t<1$ znači $\frac1e<x<e$. Funkcija je pozitivna za $x\in\left(\frac1e,e\right)$, a negativna za $x\in\left(0,\frac1e\right)\cup(e,+\infty)$.

Primer: Ispitati parnost funkcije $y=\log_2\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$.

Argument logaritma je uvek pozitivan, jer je $\sqrt{1+x^2}>\sqrt{x^2}=\lvert x\rvert\ge-x$. Domen je $\mathbf{R}$, a on je simetričan.

Ključna je veza dobijena razlikom kvadrata:

Dakle, $\sqrt{1+x^2}-x=\dfrac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}$, pa je

Funkcija je neparna.

Primer: Odrediti realan parametar $a$ tako da funkcija $f(x)=\dfrac{5x-1}{x^2+x}-a\cdot\dfrac{5x+1}{x^2-x}$ bude parna, odnosno neparna.

Imenioci su $x(x+1)$ i $x(x-1)$, pa je $D=\mathbf{R}\setminus\{-1,0,1\}$. Izbačene tačke su simetrične oko nule, pa je domen simetričan za svako $a$. Zamenom $x$ sa $-x$ imenioci $x^2+x$ i $x^2-x$ zamene mesta:

Funkcija je parna ako je $f(x)-f(-x)=0$ za svako $x\in D$. Grupisanjem sabiraka sa istim razlomkom dobijamo

Razlomak nikad nije nula, jer je $10x^2+2>0$. Zato je funkcija parna samo za $a=1$.

Funkcija je neparna ako je $f(x)+f(-x)=0$ za svako $x\in D$:

Razlomak ni ovde nije nula, pa je funkcija neparna samo za $a=-1$.

Primer: Ispitati monotonost funkcije $f(x)=x^3-3x$, odrediti njene nule i znak i skicirati grafik.

Za $x_1<x_2$ koristimo razliku kubova $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$:

Pošto je $x_2-x_1>0$, znak razlike zavisi samo od izraza $x_1^2+x_1x_2+x_2^2-3$.

• Na $(-\infty,-1)$ i na $(1,+\infty)$ su $x_1^2$, $x_2^2$ i $x_1x_2$ veći od $1$, pa je zbir veći od $3$. Funkcija tu strogo raste.
• Na $(-1,1)$ su $x_1^2<1$ i $x_2^2<1$, a iz $(x_1-x_2)^2\ge0$ sledi $x_1x_2\le\frac{x_1^2+x_2^2}{2}<1$. Zbir je manji od $3$, pa funkcija tu strogo opada.

Nule dobijamo iz $x(x-\sqrt3)(x+\sqrt3)=0$: to su $-\sqrt3$, $0$ i $\sqrt3$.

U tačkama u kojima se rast menja u opadanje i obrnuto vrednosti su $f(-1)=2$ i $f(1)=-2$. Grafik raste do tačke $(-1,2)$, opada kroz koordinatni početak do tačke $(1,-2)$, a zatim ponovo raste.

Primer: Ispitati monotonost funkcije $y=\dfrac{3x-1}{3-x}$.

Domen je $x\ne3$. Za $x_1<x_2$ svodimo razliku na zajednički imenilac. U brojiocu se članovi $-3x_1x_2$ i $-3$ potiru:

Brojilac je pozitivan. Ako su oba broja sa iste strane broja $3$, činioci u imeniocu su istog znaka, pa je i imenilac pozitivan. Funkcija strogo raste na $(-\infty,3)$ i na $(3,+\infty)$.

Primer: Ispitati monotonost funkcije $y=3^{(x^2-1)^3+1}$.

Funkcija se dobija u nekoliko koraka: $x\mapsto x^2\mapsto x^2-1\mapsto(x^2-1)^3+1\mapsto3^{(x^2-1)^3+1}$. Oduzimanje broja, podizanje na kub, dodavanje broja i eksponencijalna funkcija sa osnovom $3>1$ su rastuće operacije, pa čuvaju poredak.

Zato funkcija raste tamo gde raste $x^2$, a opada tamo gde $x^2$ opada. Funkcija strogo opada na $(-\infty,0]$, a strogo raste na $[0,+\infty)$. Najmanja vrednost je $y(0)=3^{(-1)^3+1}=3^0=1$.

Primer: Ispitati ograničenost funkcije $y=\dfrac{1}{x+1}$ na intervalu $(-1,1)$.

Iz $-1<x<1$ sledi $0<x+1<2$. Imenilac je pozitivan i manji od $2$, pa je $\frac{1}{x+1}>\frac12$. Funkcija je ograničena odozdo.

Gornje granice nema. Kada se $x$ približava broju $-1$, imenilac se približava nuli, a razlomak raste: $y(-0{,}9)=10$, $y(-0{,}99)=100$. Ako neko predloži broj $M>1$ kao gornju granicu, uzmemo $x=-1+\frac{1}{2M}$. Taj broj pripada intervalu, a

Funkcija nije ograničena na $(-1,1)$, iako je ograničena odozdo.

Primer: Ispitati ograničenost funkcije $y=\dfrac{3}{x^2+6x+10}$.

Imenilac dopunjavamo do potpunog kvadrata: $x^2+6x+10=(x+3)^2+1\ge1$. Funkcija je definisana i pozitivna za svako $x$. Najmanji imenilac je $1$, za $x=-3$, pa je

Funkcija je ograničena, a njene vrednosti su u intervalu $(0,3]$.

Primer: Naći najmanju vrednost funkcije $y=\sin x-\cos^2x-1$ i sve $x$ u kojima se ona dostiže.

Zamenom $\cos^2x=1-\sin^2x$ funkcija zavisi samo od $\sin x$:

Uvodimo smenu $t=\sin x$, pri čemu je $-1\le t\le1$, i dopunjavamo do potpunog kvadrata:

Jednakost važi za $t=-\frac12$, a ta vrednost pripada intervalu $[-1,1]$. Najmanja vrednost je $-\frac94$ i dostiže se kada je $\sin x=-\frac12$, tj. za

Za $t=1$ dobijamo $y=0$, pa je skup vrednosti funkcije $\left[-\frac94,0\right]$.

Primer: Naći najveću vrednost funkcije $y=\dfrac{x}{x^2+1}$.

Pretpostavimo da je najveća vrednost $\frac12$ i proverimo da razlika $\frac12-y$ nije negativna:

Dakle, $y\le\frac12$, a jednakost važi za $x=1$. Najveća vrednost je $\frac12$. Funkcija je neparna, pa je njena najmanja vrednost $-\frac12$, za $x=-1$.

Primer: Naći najveću vrednost funkcije $y=\log_2^4x+12\log_2^2x\cdot\log_2\dfrac8x$ za $1\le x\le64$.

Zapis $\log_2^4x$ znači $(\log_2x)^4$. Uvodimo smenu $z=\log_2x$. Logaritam je rastući, pa uslov $1\le x\le64$ postaje $0\le z\le6$. Pošto je $\log_2\frac8x=3-z$, dobijamo

Za $0\le z\le6$ izraz $z(6-z)$ nije negativan, a

Zato je $y\le81$, a jednakost važi za $z=3$, tj. $x=2^3=8$. Najveća vrednost je $81$.

Primer: Odrediti osnovni period funkcije $y=\sin2\pi x$.

Kada se $x$ pomeri za $1$, argument se pomeri za $2\pi$, pa se sinus ne menja:

Broj $1$ je period. Neka je $T>0$ bilo koji period. U tački $x_0=\frac14$ je $y=\sin\frac{\pi}{2}=1$, pa mora biti i $y\left(\frac14+T\right)=1$:

Svaki period je prirodan broj, pa je osnovni period $T=1$.

Primer: Odrediti osnovni period funkcije $y=\sin^4x+\cos^4x$.

Dodamo i oduzmemo $2\sin^2x\cos^2x$, a zatim koristimo $\sin^2x+\cos^2x=1$, $2\sin x\cos x=\sin2x$ i $\sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2}$:

Osnovni period je $\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$.

Primer: Odrediti osnovni period funkcije $y=\cos\dfrac{3x}{2}-\sin\dfrac{x}{3}$.

Prvi sabirak ima period $\frac{2\pi}{3/2}=\frac{4\pi}{3}$, a drugi $\frac{2\pi}{1/3}=6\pi$. Najmanji broj koji je umnožak oba je

Da manjeg perioda nema, pokazuje se drugim korakom dokaza. Ako je $T>0$ period, onda je $y(T)=y(-T)=y(0)=1$. Odatle se dobijaju jednačine

Sabiranjem dobijamo $\cos\frac{3T}{2}=1$, tj. $T=\frac{4k\pi}{3}$. Oduzimanjem dobijamo $\sin\frac T3=0$, tj. $T=3n\pi$. Iz $\frac{4k\pi}{3}=3n\pi$ sledi $4k=9n$, pa je $n$ deljivo sa $4$ i $T$ je umnožak broja $12\pi$. Osnovni period je $12\pi$.

Primer: Za funkciju $f(x)=\log_2\dfrac{x^2-5x+6}{x}$ odrediti domen, ispitati parnost i odrediti nule i znak.

Domen. Argument logaritma mora biti pozitivan: $\frac{(x-2)(x-3)}{x}>0$.

Dakle, $D=(0,2)\cup(3,+\infty)$.

Parnost. Domen nije simetričan, jer $1\in D$, a $-1\notin D$. Funkcija nije ni parna ni neparna.

Nule. Logaritam je nula kada je argument $1$:

Kako je $3-\sqrt3\approx1{,}27\in(0,2)$ i $3+\sqrt3\approx4{,}73\in(3,+\infty)$, oba broja su nule funkcije.

Znak. Osnova je $2>1$, pa je $f(x)>0$ kada je argument veći od $1$:

Na domenu je $x>0$, pa znak zavisi samo od trinoma $x^2-6x+6$. On je pozitivan za $x<3-\sqrt3$ ili $x>3+\sqrt3$. Presekom sa domenom dobijamo da je $f(x)>0$ za $x\in(0,3-\sqrt3)\cup(3+\sqrt3,+\infty)$, a $f(x)<0$ za $x\in(3-\sqrt3,2)\cup(3,3+\sqrt3)$.