5056. Svojstva realnih funkcija

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ je ograničena odozgo na skupu $A$ ako postoji realan broj $M$ takav da za svako $x\in A$ važi $f(x)\leq M .$ Ograničena je odozdo ako postoji realan broj $m$ takav da za svako $x\in A$ važi $f(x)\geq m .$ Ako je ograničena i odozdo i odozgo, kažemo da je ograničena. Drugim rečima, treba da pronađemo jedan broj ispod kog vrednosti funkcije nikad ne padaju i jedan broj iznad kog nikad ne idu.

Za $x\in(-1,1)$ kvadrat $x^2$ je najmanje $0$ (za $x=0$ ) i uvek je manji od $1 ,$ jer $x$ nikad nije $1$ ni $-1 .$ Oduzmemo $1$ na svim stranama:

0\leq x^2<1 \implies -1\leq x^2-1<0

Imenilac je, dakle, uvek negativan broj između $-1$ i $0 .$ Pogledajmo kakav razlomak dobijamo za takve imenioce:

\frac{1}{-1}=-1, \qquad \frac{1}{-0{,}5}=-2, \qquad \frac{1}{-0{,}1}=-10, \qquad \frac{1}{-0{,}01}=-100

Vrednosti su uvek negativne, i to najviše $-1$ (kada je imenilac $-1 ,$ tj. za $x=0$ ). Što je imenilac bliži nuli, razlomak je sve „negativniji”. Funkcija je zato ograničena odozgo brojem $-1 :$

\frac{1}{x^2-1}\leq-1

Da li postoji i donja granica? Kada se $x$ približava broju $1$ (ili $-1$ ), imenilac $x^2-1$ se približava nuli, pa vrednosti postaju sve manje:

x=0{,}9:\ y=\frac{1}{-0{,}19}\approx-5{,}3, \qquad x=0{,}99:\ y=\frac{1}{-0{,}0199}\approx-50, \qquad x=0{,}999:\ y=\frac{1}{-0{,}001999}\approx-500

Vrednosti se mogu spustiti ispod bilo kog broja. Na primer, ako neko predloži broj $m=-1000$ kao donju granicu, dovoljno je uzeti $x$ još bliže broju $1 ,$ recimo $x=0{,}9999 ,$ i dobićemo vrednost oko $-5000 .$ Uopšte, za bilo koji predloženi broj $m<-1$ biramo $x$ tako da imenilac bude $\frac{1}{2m}$ ; taj broj je između $0$ i $1 ,$ pa pripada intervalu:

x=\sqrt{1+\frac{1}{2m}} \implies x^2-1=\frac{1}{2m} \implies y=2m<m

Poslednja nejednakost važi jer je $m$ negativan (npr. $2\cdot(-5)=-10<-5$ ). Nijedan broj nije donja granica, pa funkcija nije ograničena odozdo.

Zaključak: funkcija $y=\frac{1}{x^2-1}$ je na intervalu $(-1,1)$ ograničena odozgo (brojem $-1$ ), ali nije ograničena odozdo, pa nije ograničena.

Započni učenje

Online časovi

86.b

Beleške