86.a
Tekst zadatka namerno ne prikazujemo jer želimo da podržimo izdavača Krugove zbirke. Možeš pronaći tekst zadatka u zbirci.
Odrediti koje od sledećih funkcija su ograničene na intervalu
Podsetimo se definicije: funkcija je ograničena odozgo na skupu ako postoji realan broj takav da za svako važi Ograničena je odozdo ako postoji realan broj takav da za svako važi Ako je ograničena i odozdo i odozgo, kažemo da je ograničena. Drugim rečima, treba da pronađemo jedan broj ispod kog vrednosti funkcije nikad ne padaju i jedan broj iznad kog nikad ne idu.
Pošto je dodamo na sve strane nejednakosti:
Imenilac je dakle uvek pozitivan i manji od ali može biti proizvoljno blizu nuli. Kod razlomka sa pozitivnim imeniocem važi: što je imenilac manji, razlomak je veći. Kako je imenilac manji od razlomak je veći od
Funkcija je, dakle, ograničena odozdo brojem Ali to još ne znači da je ograničena — potrebna nam je i gornja granica. Problem nastaje kada se približava broju tada se imenilac približava nuli, a razlomak postaje sve veći:
Tako možemo dobiti koliko god veliku vrednost. Ako bi neko tvrdio da je neki broj gornja granica, dovoljno je uzeti Taj broj je veći od i manji od pa pripada intervalu, a vrednost funkcije u njemu je veća od
Nijedan broj ne može biti gornja granica, pa funkcija nije ograničena odozgo.
Zaključak: funkcija je ograničena odozdo (brojem ), ali nije ograničena odozgo, pa nije ograničena na intervalu Ključno je da interval ne sadrži ali mu se može približiti koliko god želimo, pa imenilac postaje koliko god mali pozitivan broj.