85
Tekst zadatka namerno ne prikazujemo jer želimo da podržimo izdavača Krugove zbirke. Možeš pronaći tekst zadatka u zbirci.
Dokazati da su funkcije i ograničene na intervalu
Podsetimo se definicije: funkcija je ograničena odozgo na skupu ako postoji realan broj takav da za svako važi Ograničena je odozdo ako postoji realan broj takav da za svako važi Ako je ograničena i odozdo i odozgo, kažemo da je ograničena. Drugim rečima, treba da pronađemo jedan broj ispod kog vrednosti funkcije nikad ne padaju i jedan broj iznad kog nikad ne idu.
Počnimo od funkcije Kvadrat bilo kog realnog broja nije negativan (npr. ), pa vrednosti funkcije nikad ne padaju ispod nule. Broj je donja granica:
Za gornju granicu pogledajmo nekoliko vrednosti na intervalu Kvadrat je veći što je broj dalji od nule, a od svih brojeva iz intervala najdalje od nule je Zato očekujemo da je najveća vrednost
Proverimo da je zaista za svako Posmatramo razliku i rastavljamo je po formuli za razliku kvadrata Kako je prvi činilac nije negativan; kako je drugi činilac je dakle pozitivan. Proizvod takva dva broja nije negativan:
Za svako važi pa je funkcija ograničena: odozdo brojem a odozgo brojem
Sada funkcija Kub čuva redosled brojeva: veći broj ima veći kub, i kod negativnih brojeva (npr. ). Zato najmanju vrednost očekujemo na levom, a najveću na desnom kraju intervala:
Proverimo donju granicu, tj. da je Koristimo formulu za zbir kubova a zatim drugi činilac zapisujemo kao zbir kvadrata i pozitivnog broja:
Činilac je uvek pozitivan (kvadrat plus ), a jer je Proizvod nije negativan, pa je odnosno
Na isti način proveravamo gornju granicu, ovog puta pomoću formule za razliku kubova Činilac nije negativan jer je a drugi činilac je zbir kvadrata i broja
Za svako važi i Obe funkcije imaju i donju i gornju granicu, pa su ograničene na intervalu