5059. Svojstva realnih funkcija

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ je ograničena odozgo na skupu $A$ ako postoji realan broj $M$ takav da za svako $x\in A$ važi $f(x)\leq M .$ Ograničena je odozdo ako postoji realan broj $m$ takav da za svako $x\in A$ važi $f(x)\geq m .$ Ako je ograničena i odozdo i odozgo, kažemo da je ograničena. Drugim rečima, treba da pronađemo jedan broj ispod kog vrednosti funkcije nikad ne padaju i jedan broj iznad kog nikad ne idu.

Imenilac rastavljamo na činioce. Brojevi $1$ i $3$ su njegove nule (proizvod im je $3 ,$ a zbir $4$ ):

x^2-4x+3=(x-1)(x-3)

Za $x\in(-1,1)$ oba činioca $x-1$ i $x-3$ su negativna, pa je proizvod pozitivan. Zgodnije je da ga zapišemo kao proizvod dva pozitivna broja:

(x-1)(x-3)=(1-x)(3-x)

Iz $-1<x<1$ množenjem sa $-1$ (pri čemu se okreću znaci nejednakosti) dobijamo $-1<-x<1 .$ Dodavanjem $1 ,$ odnosno $3 ,$ dobijamo granice za oba činioca:

0<1-x<2, \qquad 2<3-x<4

Proizvod je zato između $0$ i $2\cdot4=8 .$ Imenilac je pozitivan i manji od $8 ,$ pa je razlomak veći od $\frac18 :$

0<(1-x)(3-x)<8 \implies \frac{1}{x^2-4x+3}>\frac18

Funkcija je ograničena odozdo brojem $\frac18 .$ Gornje granice nema: kada se $x$ približava broju $1 ,$ činilac $1-x$ se približava nuli, a razlomak raste:

x=0{,}9:\ y=\frac{1}{0{,}1\cdot2{,}1}\approx4{,}8, \qquad x=0{,}99:\ y=\frac{1}{0{,}01\cdot2{,}01}\approx50, \qquad x=0{,}999:\ y\approx500

Kad god neko predloži broj $M$ kao gornju granicu, možemo izabrati $x$ dovoljno blizu broja $1$ tako da vrednost funkcije bude veća od $M .$ Na primer, za $M>1$ broj $x=1-\frac{1}{4M}$ je u intervalu, $1-x=\frac{1}{4M}$ i $3-x<3 ,$ pa je:

(1-x)(3-x)<\frac{3}{4M}<\frac{1}{M} \implies y=\frac{1}{(1-x)(3-x)}>M

Zaključak: funkcija $y=\frac{1}{x^2-4x+3}$ je na intervalu $(-1,1)$ ograničena odozdo, ali nije ograničena odozgo, pa nije ograničena.

Započni učenje

Online časovi

86.v

Beleške