5062. Svojstva realnih funkcija

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ je ograničena odozgo na skupu $A$ ako postoji realan broj $M$ takav da za svako $x\in A$ važi $f(x)\leq M .$ Ograničena je odozdo ako postoji realan broj $m$ takav da za svako $x\in A$ važi $f(x)\geq m .$ Ako je ograničena i odozdo i odozgo, kažemo da je ograničena. Drugim rečima, treba da pronađemo jedan broj ispod kog vrednosti funkcije nikad ne padaju i jedan broj iznad kog nikad ne idu.

Vrednosti sinusa i kosinusa su uvek između $-1$ i $1 .$ Sabiranjem ovih nejednakosti odmah dobijamo granice za zbir:

-1\leq\sin x\leq1, \quad -1\leq\cos x\leq1 \implies -2\leq\sin x+\cos x\leq2

To je već dovoljno da funkcija bude ograničena. Granice možemo i suziti. Kako je $\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2} ,$ izdvajanjem $\sqrt2$ i primenom formule za sinus zbira dobijamo:

\sin x+\cos x=\sqrt2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\cos x\sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)

Pošto je sinus između $-1$ i $1 ,$ vrednosti funkcije su između $-\sqrt2$ i $\sqrt2 :$

-\sqrt2\leq\sin x+\cos x\leq\sqrt2

Funkcija $y=\sin x+\cos x$ je ograničena; njene vrednosti su u intervalu $[-\sqrt2,\sqrt2] .$

Započni učenje

Online časovi

87.d

Beleške