5064. Svojstva realnih funkcija

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ je ograničena odozgo na skupu $A$ ako postoji realan broj $M$ takav da za svako $x\in A$ važi $f(x)\leq M .$ Ograničena je odozdo ako postoji realan broj $m$ takav da za svako $x\in A$ važi $f(x)\geq m .$ Ako je ograničena i odozdo i odozgo, kažemo da je ograničena. Drugim rečima, treba da pronađemo jedan broj ispod kog vrednosti funkcije nikad ne padaju i jedan broj iznad kog nikad ne idu.

Imenilac dopunjavamo do potpunog kvadrata: $x^2+6x+9=(x+3)^2 ,$ a ostaje još $1 .$ Kako kvadrat nije negativan, imenilac je uvek najmanje $1 :$

x^2+6x+10=(x^2+6x+9)+1=(x+3)^2+1\geq1

Funkcija je zato definisana za svako $x$ i pozitivna je. Najmanji imenilac je $1$ (za $x=-3$ ), pa je najveća vrednost $\frac31=3 :$

0<\frac{3}{x^2+6x+10}\leq3

Funkcija je ograničena, a njene vrednosti su u intervalu $(0,3] .$

Započni učenje

Online časovi

87.g

Beleške