5065. Svojstva realnih funkcija

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ je ograničena odozgo na skupu $A$ ako postoji realan broj $M$ takav da za svako $x\in A$ važi $f(x)\leq M .$ Ograničena je odozdo ako postoji realan broj $m$ takav da za svako $x\in A$ važi $f(x)\geq m .$ Ako je ograničena i odozdo i odozgo, kažemo da je ograničena. Drugim rečima, treba da pronađemo jedan broj ispod kog vrednosti funkcije nikad ne padaju i jedan broj iznad kog nikad ne idu.

Funkcija je definisana za svako $x .$ Brojilac $x^2$ nije negativan, a imenilac je pozitivan, pa razlomak nije negativan. Donja granica je $0 :$

\frac{x^2}{1+x^2}\geq0

Primetimo da je brojilac uvek za $1$ manji od imenioca, pa je razlomak manji od $1 .$ To se vidi i ako brojilac zapišemo kao $(1+x^2)-1$ i razlomak podelimo na dva:

\frac{x^2}{1+x^2}=\frac{(1+x^2)-1}{1+x^2}=1-\frac{1}{1+x^2}<1

Za svako realno $x$ je $0\leq\frac{x^2}{1+x^2}<1 ,$ pa je funkcija ograničena.

Započni učenje

Online časovi

87.v

Beleške