5061. Svojstva realnih funkcija

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ je ograničena odozgo na skupu $A$ ako postoji realan broj $M$ takav da za svako $x\in A$ važi $f(x)\leq M .$ Ograničena je odozdo ako postoji realan broj $m$ takav da za svako $x\in A$ važi $f(x)\geq m .$ Ako je ograničena i odozdo i odozgo, kažemo da je ograničena. Drugim rečima, treba da pronađemo jedan broj ispod kog vrednosti funkcije nikad ne padaju i jedan broj iznad kog nikad ne idu.

Funkcija je definisana za svako $x ,$ jer je $1+x^2\geq1 .$ Pogledajmo vrednosti za velike $x :$ brojilac $x^3$ raste mnogo brže od imenioca, pa je vrednost približno jednaka $x :$

y(10)=\frac{1000}{101}\approx9{,}9, \qquad y(100)=\frac{1000000}{10001}\approx99{,}99

Ovo nam govori da funkcija može biti proizvoljno velika. Da to i pokažemo, procenimo imenilac za $x\geq1 :$ tada je $1\leq x^2 ,$ pa je $1+x^2\leq x^2+x^2=2x^2 .$ Ako imenilac zamenimo većim brojem, razlomak se smanjuje:

\frac{x^3}{1+x^2}\geq\frac{x^3}{2x^2}=\frac{x}{2}, \quad \text{za } x\geq1

Ako neko predloži bilo koji broj $M>0$ kao gornju granicu, uzmemo $x=2M+2 .$ Tada je vrednost funkcije veća od $M :$

y(2M+2)\geq\frac{2M+2}{2}=M+1>M

Funkcija nije ograničena odozgo. Slično nije ograničena ni odozdo: zamenom $x$ sa $-x$ vrednost menja znak, jer je $\frac{(-x)^3}{1+(-x)^2}=-\frac{x^3}{1+x^2} ,$ pa za $x=-(2M+2)$ dobijamo vrednost manju od $-M .$

Zaključak: funkcija $y=\frac{x^3}{1+x^2}$ nije ograničena.

Započni učenje

Online časovi

87.b

Beleške