5063. Svojstva realnih funkcija

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ je ograničena odozgo na skupu $A$ ako postoji realan broj $M$ takav da za svako $x\in A$ važi $f(x)\leq M .$ Ograničena je odozdo ako postoji realan broj $m$ takav da za svako $x\in A$ važi $f(x)\geq m .$ Ako je ograničena i odozdo i odozgo, kažemo da je ograničena. Drugim rečima, treba da pronađemo jedan broj ispod kog vrednosti funkcije nikad ne padaju i jedan broj iznad kog nikad ne idu.

Logaritam je definisan samo za $x>0 ,$ pa ograničenost ispitujemo na tom skupu. Kako je $\log_2 2^k=k ,$ lako računamo vrednosti u stepenima dvojke:

y(2^{10})=\frac{10}{2}=5, \qquad y(2^{100})=\frac{100}{2}=50, \qquad y(2^{-100})=\frac{-100}{2}=-50

Vrednosti mogu biti proizvoljno velike i proizvoljno male. Ako neko predloži bilo koji broj $M$ kao gornju granicu, uzmemo $x=2^{2M+2} ,$ pa je:

y\left(2^{2M+2}\right)=\frac{2M+2}{2}=M+1>M

Slično, ako neko predloži broj $m$ kao donju granicu, za $x=2^{2m-2}$ dobijamo $y=m-1<m .$ Funkcija nije ograničena ni odozgo ni odozdo.

Zaključak: funkcija $y=\frac12\log_2 x$ nije ograničena.

Započni učenje

Online časovi

87.đ

Beleške