Elementarne funkcije

Funkcija $f$ svakom broju $x$ iz nekog skupa dodeljuje tačno jedan broj $y$. Pišemo $y=f(x)$. Broj $x$ je argument (nezavisno promenljiva), a $y$ je vrednost funkcije. Skup svih brojeva $x$ za koje funkcija ima smisla naziva se domen (oblast definisanosti) i označava se sa $D$ ili $D_f$. Skup svih vrednosti koje funkcija dostiže naziva se skup vrednosti (kodomen).

Grafik funkcije je skup svih tačaka $(x,f(x))$ u koordinatnoj ravni, gde $x$ prolazi kroz ceo domen. Pošto svakom $x$ odgovara tačno jedno $y$, svaka vertikalna prava seče grafik funkcije najviše jednom. Zato, na primer, kružnica nije grafik funkcije.

Elementarne funkcije su osnovne funkcije koje su prikazane u ovoj lekciji (linearna, kvadratna, koren, eksponencijalna, logaritamska, trigonometrijske i inverzne trigonometrijske), kao i sve funkcije koje se od njih dobijaju sabiranjem, oduzimanjem, množenjem, deljenjem i slaganjem. Na primer, $y=\sqrt{x^2-4}$ i $y=\log_2(\sin x+2)$ su elementarne funkcije. Ko dobro poznaje grafike osnovnih funkcija, može da skicira i grafike mnogo složenijih funkcija.

Sadržaj

1. Linearna funkcija
2. Kvadratna funkcija
3. Funkcija korena i hiperbola
4. Eksponencijalna i logaritamska funkcija
5. Trigonometrijske funkcije
6. Inverzne trigonometrijske funkcije
7. Domen funkcije
8. Kako samostalno nacrtati grafik funkcije

1. Linearna funkcija

Linearna funkcija ima oblik

$$y=kx+n,\qquad k,n\in\mathbf{R}.$$

Definisana je za svako $x\in\mathbf{R}$, a njen grafik je prava.

Oznaka	Naziv	Šta određuje
$k$	koeficijent pravca	nagib prave: $k=\operatorname{tg}\varphi$, gde je $\varphi$ ugao koji prava zaklapa sa pozitivnim smerom $x$-ose
$n$	slobodni član	odsečak na $y$-osi: prava seče $y$-osu u tački $A(0,n)$

Ponašanje funkcije zavisi od znaka koeficijenta $k$:

• za $k>0$ funkcija je rastuća (prava ide nagore sleva nadesno);
• za $k<0$ funkcija je opadajuća;
• za $k=0$ funkcija je konstantna, $y=n$, a grafik je prava paralelna $x$-osi. Specijalno, $y=0$ je sama $x$-osa.

Za $k\ne0$ funkcija ima jednu nulu, koju dobijamo iz $kx+n=0$:

$$x_0=-\frac{n}{k}.$$

Prave sa istim koeficijentom $k$ su paralelne. Prava $y=kx$ (tj. $n=0$) uvek prolazi kroz koordinatni početak, a prava $y=kx+n$ je ista prava pomerena za $n$ duž $y$-ose.

2. Kvadratna funkcija

Kvadratna funkcija ima oblik

$$y=ax^2+bx+c,\qquad a,b,c\in\mathbf{R},\ a\ne0.$$

Definisana je za svako $x\in\mathbf{R}$, a njen grafik je parabola.

• Nule funkcije su realna rešenja jednačine $ax^2+bx+c=0$:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a},\qquad D=b^2-4ac,$$

gde je $D$ diskriminanta. Realne nule postoje samo ako je $D\ge0$.

• Teme parabole je tačka

$$T\left(-\frac{b}{2a},\ \frac{4ac-b^2}{4a}\right).$$

• Prava $x=-\frac{b}{2a}$ je osa simetrije parabole.
• Presek sa $y$-osom je tačka $(0,c)$.

Ako uvedemo oznake $\alpha=-\frac{b}{2a}$ i $\beta=\frac{4ac-b^2}{4a}$, funkcija se može zapisati u kanonskom obliku

$$y=a(x-\alpha)^2+\beta.$$

Iz njega se odmah vidi teme $T(\alpha,\beta)$. Kanonski oblik se dobija dopunjavanjem do potpunog kvadrata.

Znak koeficijenta $a$ određuje kako je parabola okrenuta, a znak diskriminante koliko nula ima funkcija. Zato razlikujemo šest karakterističnih slučajeva.

	$D>0$	$D=0$	$D<0$
$a>0$ (otvor nagore)	seče $x$-osu u $x_1$ i $x_2$	dodiruje $x$-osu u temenu	cela je iznad $x$-ose, nema nula
$a<0$ (otvor nadole)	seče $x$-osu u $x_1$ i $x_2$	dodiruje $x$-osu u temenu	cela je ispod $x$-ose, nema nula

Na prvom grafiku su sva tri slučaja za $a>0$, a na drugom za $a<0$.

Teme je uvek tačka u kojoj funkcija dostiže ekstremnu vrednost:

	Ekstrem u temenu	Monotonost	Skup vrednosti
$a>0$	minimum $y_{\min}=\beta$	opada na $(-\infty,\alpha]$, raste na $[\alpha,+\infty)$	$[\beta,+\infty)$
$a<0$	maksimum $y_{\max}=\beta$	raste na $(-\infty,\alpha]$, opada na $[\alpha,+\infty)$	$(-\infty,\beta]$

3. Funkcija korena i hiperbola

Funkcija $y=\sqrt[n]{x}$

Funkcija $y=\sqrt[n]{x}$, $n\in\mathbf{N}$, $n\ge2$, ponaša se različito u zavisnosti od toga da li je izložilac korena paran ili neparan.

	$n$ paran (npr. $y=\sqrt{x}$)	$n$ neparan (npr. $y=\sqrt[3]{x}$)
Domen	$x\ge0$	$x\in\mathbf{R}$
Skup vrednosti	$[0,+\infty)$	$\mathbf{R}$
Nula	$x=0$	$x=0$
Monotonost	rastuća	rastuća
Parnost	ni parna ni neparna	neparna

Paran koren negativnog broja nije realan broj (ne postoji realan broj čiji je kvadrat $-4$), pa je zato domen ograničen. Neparan koren postoji za svaki realan broj, na primer $\sqrt[3]{-8}=-2$.

Funkcija $y=\frac{k}{x}$

Funkcija $y=\frac{k}{x}$, $k\in\mathbf{R}$, $k\ne0$, opisuje obrnutu proporcionalnost: kada se $x$ poveća nekoliko puta, $y$ se isto toliko puta smanji. Njen grafik je hiperbola.

• Definisana je za $x\ne0$, jer se nulom ne deli.
• Nema nula, jer razlomak sa brojiocem $k\ne0$ nikada nije jednak nuli.
• Funkcija je neparna, pa je grafik simetričan u odnosu na koordinatni početak.
• Asimptote grafika su $y$-osa i $x$-osa. Asimptota je prava kojoj se grafik neograničeno približava, ali je ne dostiže.
• Za $k>0$ grane hiperbole su u I i III kvadrantu, a za $k<0$ u II i IV kvadrantu.

4. Eksponencijalna i logaritamska funkcija

Eksponencijalna funkcija ima oblik $y=a^x$, a logaritamska $y=\log_a x$, pri čemu u oba slučaja važi $a>0$ i $a\ne1$. Ove dve funkcije su međusobno inverzne: $y=\log_a x$ znači isto što i $a^y=x$. Zato je dobro da se uče zajedno.

	$y=a^x$	$y=\log_a x$
Domen	$x\in\mathbf{R}$	$x>0$
Skup vrednosti	$(0,+\infty)$	$\mathbf{R}$
Nula	nema, funkcija je uvek pozitivna	$x_0=1$
Karakteristične tačke	$(0,1)$ i $(1,a)$	$(1,0)$ i $(a,1)$
Asimptota	$x$-osa ($y=0$)	$y$-osa ($x=0$)
Za $a>1$	rastuća	rastuća
Za $0<a<1$	opadajuća	opadajuća

Grafik eksponencijalne funkcije uvek prolazi kroz tačku $(0,1)$, jer je $a^0=1$. Grafik logaritamske funkcije uvek prolazi kroz tačku $(1,0)$, jer je $\log_a1=0$.

Grafici međusobno inverznih funkcija simetrični su u odnosu na pravu $y=x$. Tačka $(1,2)$ leži na grafiku $y=2^x$, a tačka $(2,1)$ na grafiku $y=\log_2x$.

5. Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije su periodične: posle svakog perioda $T$ vrednosti se ponavljaju, tj. $f(x+T)=f(x)$. Ako je $T$ period, onda je i svaki umnožak $kT$, $k\in\mathbf{N}$, period. Najmanji pozitivan period naziva se osnovni period. U celoj tabeli je $k\in\mathbf{Z}$.

	$y=\sin x$	$y=\cos x$	$y=\operatorname{tg}x$	$y=\operatorname{ctg}x$
Domen	$\mathbf{R}$	$\mathbf{R}$	$x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi$	$x\ne k\pi$
Skup vrednosti	$[-1,1]$	$[-1,1]$	$\mathbf{R}$	$\mathbf{R}$
Osnovni period	$2\pi$	$2\pi$	$\pi$	$\pi$
Nule	$x=k\pi$	$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$	$x=k\pi$	$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$
$y_{\max}=1$ za	$x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$	$x=2k\pi$	nema	nema
$y_{\min}=-1$ za	$x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi$	$x=\pi+2k\pi$	nema	nema
Vertikalne asimptote	nema	nema	$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$	$x=k\pi$
Parnost	neparna	parna	neparna	neparna

Sinus i kosinus

Grafik funkcije $y=\sin x$ naziva se sinusoida. Pošto je

$$\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right),$$

grafik kosinusa je ista sinusoida pomerena za $\frac{\pi}{2}$ ulevo. Obe funkcije su ograničene, jer im vrednosti uvek leže između $-1$ i $1$.

Tangens i kotangens

Funkcija $y=\operatorname{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$ nije definisana tamo gde je $\cos x=0$, a $y=\operatorname{ctg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$ tamo gde je $\sin x=0$. U tim tačkama grafici imaju vertikalne asimptote.

• $y=\operatorname{tg}x$ je rastuća na svakom intervalu $\left(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\ \frac{\pi}{2}+k\pi\right)$.
• $y=\operatorname{ctg}x$ je opadajuća na svakom intervalu $(k\pi,\ \pi+k\pi)$.

6. Inverzne trigonometrijske funkcije

Funkcija ima inverznu funkciju samo ako različitim vrednostima $x$ odgovaraju različite vrednosti $y$. Trigonometrijske funkcije to ne ispunjavaju, jer se njihove vrednosti periodično ponavljaju. Na primer, $\sin0=\sin\pi=0$. Zato se svaka od njih posmatra samo na jednom intervalu na kome je monotona, i tek tada se traži inverzna funkcija.

	$y=\arcsin x$	$y=\arccos x$	$y=\operatorname{arctg}x$	$y=\operatorname{arcctg}x$
Inverzna funkcija za	$\sin x$, $x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$	$\cos x$, $x\in[0,\pi]$	$\operatorname{tg}x$, $x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$	$\operatorname{ctg}x$, $x\in(0,\pi)$
Domen	$[-1,1]$	$[-1,1]$	$\mathbf{R}$	$\mathbf{R}$
Skup vrednosti	$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$	$[0,\pi]$	$\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$	$(0,\pi)$
Monotonost	rastuća	opadajuća	rastuća	opadajuća
Horizontalne asimptote	nema	nema	$y=-\frac{\pi}{2}$ i $y=\frac{\pi}{2}$	$y=0$ i $y=\pi$

Zapis $y=\arcsin x$ znači: $y$ je ugao iz intervala $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ čiji je sinus jednak $x$. Na isti način se čitaju i ostale tri funkcije, svaka sa svojim intervalom iz reda „Skup vrednosti". Na primer:

$$\arcsin\frac{1}{2}=\frac{\pi}{6},\qquad \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi}{3},\qquad \operatorname{arctg}1=\frac{\pi}{4},\qquad \operatorname{arcctg}(-1)=\frac{3\pi}{4}.$$

Važe i veze

$$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2},\qquad \operatorname{arctg}x+\operatorname{arcctg}x=\frac{\pi}{2}.$$

7. Domen funkcije

Kada je funkcija zadata samo formulom, njen domen je skup svih realnih brojeva $x$ za koje formula ima smisla, tj. za koje se sve operacije u njoj mogu izvršiti. Domen se određuje tako što se pronađu sve operacije koje nisu uvek dozvoljene i za svaku se zapiše uslov.

Ako se u formuli pojavljuje	Uslov
razlomak $\frac{A}{B}$	$B\ne0$
koren parnog reda $\sqrt[2m]{A}$	$A\ge0$
logaritam $\log_a A$	$A>0$ (a ako osnova zavisi od $x$, još i $a>0$, $a\ne1$)
$\operatorname{tg}A$	$A\ne\frac{\pi}{2}+k\pi$, $k\in\mathbf{Z}$
$\operatorname{ctg}A$	$A\ne k\pi$, $k\in\mathbf{Z}$
$\arcsin A$ ili $\arccos A$	$-1\le A\le1$

Polinomi, koreni neparnog reda, eksponencijalna funkcija, $\sin$, $\cos$, $\operatorname{arctg}$ i $\operatorname{arcctg}$ definisani su za svaki realan broj, pa ne daju nikakav uslov.

Postupak je uvek isti:

1. pronađi sve razlomke, parne korene, logaritme i ostale „opasne" operacije;
2. za svaku zapiši uslov iz tabele;
3. reši svaki uslov posebno;
4. domen je presek svih dobijenih skupova, jer svi uslovi moraju da važe istovremeno.

8. Kako samostalno nacrtati grafik funkcije

Grafik ne treba crtati nasumičnim povezivanjem nekoliko tačaka. Bolje je prvo prikupiti osnovne informacije o funkciji, a zatim ih uneti u koordinatni sistem.

Plan crtanja

1. Odredi domen. Tako znaš gde grafik postoji, a gde ga nema. Granice domena su mesta gde treba posebno pažljivo pogledati ponašanje funkcije.
2. Prepoznaj osnovnu funkciju. Proveri da li je funkcija neka od osnovnih funkcija iz ove lekcije ili njena transformacija. Tada već znaš oblik grafika.
3. Nađi preseke sa osama. Nule funkcije dobijaš rešavanjem $f(x)=0$, a presek sa $y$-osom je tačka $(0,f(0))$, ako $0$ pripada domenu.
4. Nađi asimptote. Vertikalne asimptote se obično javljaju tamo gde je imenilac jednak nuli ili na granici domena logaritma. Horizontalne asimptote pokazuju kojoj vrednosti se funkcija približava kada $x$ postaje veoma veliko ili veoma malo.
5. Napravi tablicu vrednosti. Izaberi nekoliko vrednosti $x$ za koje se $y$ lako računa, posebno one blizu asimptota, temena i granica domena.
6. Ucrtaj tačke i poveži ih glatkom linijom koja poštuje oblik osnovne funkcije, domen i asimptote. Tačke koje ne pripadaju domenu označi praznim kružićem.

Transformacije grafika

Veliki broj funkcija dobija se pomeranjem, preslikavanjem ili istezanjem grafika neke osnovne funkcije $y=f(x)$. Neka je $a>0$ i $b>0$.

Funkcija	Kako se dobija iz grafika $y=f(x)$
$y=f(x)+b$	pomeranje za $b$ nagore
$y=f(x)-b$	pomeranje za $b$ nadole
$y=f(x-a)$	pomeranje za $a$ udesno
$y=f(x+a)$	pomeranje za $a$ ulevo
$y=-f(x)$	simetrija u odnosu na $x$-osu
$y=f(-x)$	simetrija u odnosu na $y$-osu
$y=c\cdot f(x)$, $c>0$	istezanje ($c>1$) ili sabijanje ($0<c<1$) duž $y$-ose
$y=\lvert f(x)\rvert$	deo grafika ispod $x$-ose preslikava se simetrično iznad nje, ostalo ostaje isto
$y=f(\lvert x\rvert)$	deo grafika za $x\ge0$ ostaje, a zatim se preslikava simetrično u odnosu na $y$-osu