Lopitalove teoreme

Lopitalova teorema služi za računanje limesa količnika dve funkcije kada direktnom zamenom dobijemo neodređen oblik

00ili∞∞.\frac{0}{0}\qquad\text{ili}\qquad\frac{\infty}{\infty}.

Ideja je da, umesto limesa originalnog količnika, računamo limes količnika izvoda brojioca i imenioca.

Neka je

lim⁡x→af(x)g(x)\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}

oblika 00\dfrac00 ili ∞∞\dfrac\infty\infty, neka su ff i gg diferencijabilne u okolini tačke aa (osim možda u samoj tački aa) i neka je g′(x)≠0g'(x)\neq0 u toj okolini. Ako postoji limes količnika izvoda, tada važi

lim⁡x→af(x)g(x)=lim⁡x→af′(x)g′(x).\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.

Dakle, posebno izvodimo brojilac, a posebno imenilac. To nije izvod količnika. Teorema važi i kada x→±∞x\to\pm\infty.

Lopitalovu teoremu nikada ne primenjujemo "napamet". Prvo zamenimo vrednost i proverimo da li je oblik 00\dfrac00 ili ∞∞\dfrac\infty\infty.

Primer pogrešne primene: lim⁡x→0x+1x+2\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x+1}{x+2}. Zamenom dobijamo 12\dfrac12, što nije neodređen oblik. Ako bismo ipak "izveli" brojilac i imenilac, dobili bismo 11=1\dfrac11=1, što je netačno.

Primer 1: Izračunati lim⁡x→1x2−1x3−1\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x^3-1}.

Za x=1x=1 i brojilac i imenilac su jednaki 00, pa je oblik 00\dfrac00 i teorema sme da se primeni:

lim⁡x→1x2−1x3−1=lim⁡x→12x3x2=23.\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x^3-1}=\lim_{x\to1}\frac{2x}{3x^2}=\frac23.

Primer 2: Izračunati lim⁡x→0x−sin⁡xx3\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}.

Za x=0x=0 je oblik 00\dfrac00. Posle prve primene dobijamo

lim⁡x→0x−sin⁡xx3=lim⁡x→01−cos⁡x3x2,\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{3x^2},

što je ponovo oblik 00\dfrac00. Primenjujemo teoremu drugi put:

lim⁡x→01−cos⁡x3x2=lim⁡x→0sin⁡x6x,\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{3x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{6x},

što je opet 00\dfrac00. Treći put:

lim⁡x→0sin⁡x6x=lim⁡x→0cos⁡x6=16.\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{6x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{6}=\frac16.

Dakle, lim⁡x→0x−sin⁡xx3=16\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\frac16.