Osnovne teoreme o izvodu

Računanje izvoda po definiciji, preko granične vrednosti, sporo je čak i za jednostavne funkcije. Zato se izvodi osnovnih funkcija pamte iz tablice, a izvodi svih ostalih funkcija dobijaju se iz njih pomoću nekoliko pravila.

Postupak nalaženja izvoda naziva se diferenciranje.

Sadržaj

  1. Tablica osnovnih izvoda i pravila diferenciranja
  2. Izvod složene funkcije
  3. Logaritamski izvod

1. Tablica osnovnih izvoda i pravila diferenciranja

Tablica osnovnih izvoda

Funkcija yyIzvod y′y'Važi za
cc (konstanta)00x∈Rx\in\mathbf{R}
xx11x∈Rx\in\mathbf{R}
xnx^nnxn−1nx^{n-1}n∈Rn\in\mathbf{R}, tamo gde su oba izraza definisana
x\sqrt{x}12x\dfrac{1}{2\sqrt{x}}x>0x>0
1x\dfrac{1}{x}−1x2-\dfrac{1}{x^2}x≠0x\ne0
exe^xexe^xx∈Rx\in\mathbf{R}
axa^xaxln⁡aa^x\ln aa>0a>0, a≠1a\ne1
ln⁡x\ln x1x\dfrac{1}{x}x>0x>0
log⁡ax\log_a x1xln⁡a\dfrac{1}{x\ln a}x>0x>0, a>0a>0, a≠1a\ne1
sin⁡x\sin xcos⁡x\cos xx∈Rx\in\mathbf{R}
cos⁡x\cos x−sin⁡x-\sin xx∈Rx\in\mathbf{R}
tg⁡x\operatorname{tg}x1cos⁡2x\dfrac{1}{\cos^2x}cos⁡x≠0\cos x\ne0
ctg⁡x\operatorname{ctg}x−1sin⁡2x-\dfrac{1}{\sin^2x}sin⁡x≠0\sin x\ne0
arcsin⁡x\arcsin x11−x2\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}−1<x<1-1<x<1
arccos⁡x\arccos x−11−x2-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}−1<x<1-1<x<1
arctg⁡x\operatorname{arctg}x11+x2\dfrac{1}{1+x^2}x∈Rx\in\mathbf{R}
arcctg⁡x\operatorname{arcctg}x−11+x2-\dfrac{1}{1+x^2}x∈Rx\in\mathbf{R}

Izvodi funkcija x\sqrt{x} i 1x\frac1x su posebni slučajevi pravila za xnx^n, za n=12n=\frac12 i n=−1n=-1. Navedeni su posebno jer se veoma često koriste.

Pravila diferenciranja

Neka funkcije u=u(x)u=u(x) i v=v(x)v=v(x) imaju izvode u tački xx i neka je cc konstanta.

PraviloFormula
Proizvod konstante i funkcije(c⋅u)′=c⋅u′(c\cdot u)'=c\cdot u'
Zbir i razlika(u±v)′=u′±v′(u\pm v)'=u'\pm v'
Proizvod(u⋅v)′=u′v+uv′(u\cdot v)'=u'v+uv'
Količnik(uv)′=u′v−uv′v2,v≠0\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2},\quad v\ne0

Izvod proizvoda nije proizvod izvoda, a izvod količnika nije količnik izvoda. Na primer, (x⋅x)′=(x2)′=2x(x\cdot x)'=(x^2)'=2x, dok je x′⋅x′=1x'\cdot x'=1.

U pravilu za količnik važan je redosled u brojiocu: prvo ide izvod brojioca puta imenilac, pa se oduzima brojilac puta izvod imenioca.

Zbir, razlika i stepeni

Pravila za zbir i za konstantu omogućavaju da se polinom diferencira član po član.

Primer: y=3x4−5x3+6x2−9x+8y=3x^4-5x^3+6x^2-9x+8

Svaki sabirak diferenciramo posebno, a koeficijente prepisujemo:

y′=3⋅4x3−5⋅3x2+6⋅2x−9+0=12x3−15x2+12x−9.y'=3\cdot4x^3-5\cdot3x^2+6\cdot2x-9+0=12x^3-15x^2+12x-9.

Korene i razlomke sa stepenom u imeniocu najpre zapisujemo kao stepene, pomoću jednakosti

xmn=xmn,1xn=x−n.\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac mn},\qquad \frac{1}{x^n}=x^{-n}.

Primer: y=1x+1x+1x3y=\dfrac1x+\dfrac1{\sqrt x}+\dfrac1{\sqrt[3]x}

Funkcija je definisana za x>0x>0. Zapisujemo je pomoću stepena:

y=x−1+x−12+x−13.y=x^{-1}+x^{-\frac12}+x^{-\frac13}.

Sada na svaki sabirak primenjujemo pravilo (xn)′=nxn−1(x^n)'=nx^{n-1}:

y′=−x−2−12x−32−13x−43=−1x2−12xx−13xx3.y'=-x^{-2}-\frac12x^{-\frac32}-\frac13x^{-\frac43}=-\frac1{x^2}-\frac1{2x\sqrt x}-\frac1{3x\sqrt[3]x}.

Konstanta je svaki izraz koji ne zavisi od promenljive po kojoj diferenciramo, ma kako složeno izgledao. Brojevi π2\pi^2, 33\sqrt[3]{3} i ln⁡2\ln2 su konstante, pa je njihov izvod nula. Na primer, za y=πx3−2x+π2y=\pi x^3-2x+\pi^2 dobijamo y′=3πx2−2y'=3\pi x^2-2.

Treba razlikovati i funkcije xax^a i axa^x. Prva je stepena, a druga eksponencijalna, pa se diferenciraju po različitim pravilima:

(ax+xa)′=axln⁡a+axa−1.(a^x+x^a)'=a^x\ln a+ax^{a-1}.

Proizvod i količnik

Primer: y=x ln⁡xy=\sqrt x\,\ln x

Ovde je u=xu=\sqrt x i v=ln⁡xv=\ln x, pa je u′=12xu'=\dfrac1{2\sqrt x} i v′=1xv'=\dfrac1x. Po pravilu za proizvod:

y′=12x⋅ln⁡x+x⋅1x=ln⁡x2x+1x=ln⁡x+22x,x>0.y'=\frac1{2\sqrt x}\cdot\ln x+\sqrt x\cdot\frac1x=\frac{\ln x}{2\sqrt x}+\frac1{\sqrt x}=\frac{\ln x+2}{2\sqrt x},\qquad x>0.

Primer: y=x2+1x2+4y=\dfrac{x^2+1}{x^2+4}

Ovde je u=x2+1u=x^2+1 i v=x2+4v=x^2+4, pa je u′=v′=2xu'=v'=2x. Po pravilu za količnik:

y′=2x(x2+4)−(x2+1)⋅2x(x2+4)2=2x3+8x−2x3−2x(x2+4)2=6x(x2+4)2.y'=\frac{2x(x^2+4)-(x^2+1)\cdot2x}{(x^2+4)^2}=\frac{2x^3+8x-2x^3-2x}{(x^2+4)^2}=\frac{6x}{(x^2+4)^2}.

Primer: y=cos⁡x1−sin⁡xy=\dfrac{\cos x}{1-\sin x}

Sada je u=cos⁡xu=\cos x, u′=−sin⁡xu'=-\sin x, v=1−sin⁡xv=1-\sin x i v′=−cos⁡xv'=-\cos x:

y′=−sin⁡x(1−sin⁡x)−cos⁡x⋅(−cos⁡x)(1−sin⁡x)2=−sin⁡x+sin⁡2x+cos⁡2x(1−sin⁡x)2.y'=\frac{-\sin x(1-\sin x)-\cos x\cdot(-\cos x)}{(1-\sin x)^2}=\frac{-\sin x+\sin^2x+\cos^2x}{(1-\sin x)^2}.

Kako je sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2x+\cos^2x=1, brojilac je 1−sin⁡x1-\sin x, pa se razlomak skraćuje:

y′=1−sin⁡x(1−sin⁡x)2=11−sin⁡x,sin⁡x≠1.y'=\frac{1-\sin x}{(1-\sin x)^2}=\frac1{1-\sin x},\qquad \sin x\ne1.

Pre diferenciranja vredi pogledati da li se izraz može uprostiti.

  • Proizvod se nekad lakše prvo izmnoži: y=(v+1)(v−1)=v2−1y=(v+1)(v-1)=v^2-1, pa je y′=2vy'=2v.
  • Ako je imenilac konstanta, pravilo za količnik nije potrebno: za y=ax+bx2am+bm2y=\dfrac{ax+bx^2}{am+bm^2} je y′=a+2bxam+bm2y'=\dfrac{a+2bx}{am+bm^2}.
  • Eksponencijalni izrazi se svode na isti oblik: y=2x+1+2x−1=2⋅2x+12⋅2x=52⋅2xy=2^{x+1}+2^{x-1}=2\cdot2^x+\dfrac12\cdot2^x=\dfrac52\cdot2^x, pa je y′=52⋅2xln⁡2y'=\dfrac52\cdot2^x\ln2.

Primer: y=xarcsin⁡xy=x\arcsin x

Funkcija je definisana za x∈[−1,1]x\in[-1,1]. Po pravilu za proizvod:

y′=1⋅arcsin⁡x+x⋅11−x2=arcsin⁡x+x1−x2.y'=1\cdot\arcsin x+x\cdot\frac1{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+\frac x{\sqrt{1-x^2}}.

Ovaj izraz ima smisla samo za −1<x<1-1<x<1. Funkcija je, dakle, definisana i u tačkama x=±1x=\pm1, ali u njima nema izvod. Zato se u zadacima traži izvod „u tačkama u kojima postoji“.

Primer: Odrediti izvode hiperboličkih funkcija

sh⁡x=ex−e−x2,ch⁡x=ex+e−x2,th⁡x=sh⁡xch⁡x.\operatorname{sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}2,\qquad \operatorname{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}2,\qquad \operatorname{th}x=\frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}x}.

Najpre nam treba izvod funkcije e−x=1exe^{-x}=\dfrac1{e^x}. Po pravilu za količnik:

(e−x)′=0⋅ex−1⋅exe2x=−1ex=−e−x.\left(e^{-x}\right)'=\frac{0\cdot e^x-1\cdot e^x}{e^{2x}}=-\frac1{e^x}=-e^{-x}.

Odatle je

(sh⁡x)′=ex+e−x2=ch⁡x,(ch⁡x)′=ex−e−x2=sh⁡x.(\operatorname{sh}x)'=\frac{e^x+e^{-x}}2=\operatorname{ch}x,\qquad (\operatorname{ch}x)'=\frac{e^x-e^{-x}}2=\operatorname{sh}x.

Za th⁡x\operatorname{th}x koristimo pravilo za količnik i jednakost ch⁡2x−sh⁡2x=1\operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x=1:

(th⁡x)′=ch⁡x⋅ch⁡x−sh⁡x⋅sh⁡xch⁡2x=1ch⁡2x.(\operatorname{th}x)'=\frac{\operatorname{ch}x\cdot\operatorname{ch}x-\operatorname{sh}x\cdot\operatorname{sh}x}{\operatorname{ch}^2x}=\frac1{\operatorname{ch}^2x}.

Na isti način se dobija (cth⁡x)′=−1sh⁡2x(\operatorname{cth}x)'=-\dfrac1{\operatorname{sh}^2x} za x≠0x\ne0.

Izvod inverzne funkcije

Neka funkcija y=f(x)y=f(x) ima inverznu funkciju x=φ(y)x=\varphi(y). Ako je f′(x)≠0f'(x)\ne0, onda je

φ′(y)=1f′(x).\varphi'(y)=\frac1{f'(x)}.

Izvodi međusobno inverznih funkcija su, dakle, recipročni. Pri tome se φ′\varphi' računa u tački yy, a f′f' u odgovarajućoj tački xx, za koju je y=f(x)y=f(x).

Primer: Za funkciju f(x)=x−1x+3f(x)=\dfrac{x-1}{x+3} odrediti inverznu funkciju x=φ(y)x=\varphi(y) i proveriti jednakost φ′(y)=1f′(x)\varphi'(y)=\dfrac1{f'(x)}.

Iz y=x−1x+3y=\dfrac{x-1}{x+3} izražavamo xx:

y(x+3)=x−1 ⟹ x(y−1)=−1−3y ⟹ x=φ(y)=1+3y1−y,y≠1.y(x+3)=x-1\ \Longrightarrow\ x(y-1)=-1-3y\ \Longrightarrow\ x=\varphi(y)=\frac{1+3y}{1-y},\qquad y\ne1.

Oba izvoda nalazimo po pravilu za količnik:

f′(x)=(x+3)−(x−1)(x+3)2=4(x+3)2,φ′(y)=3(1−y)+(1+3y)(1−y)2=4(1−y)2.f'(x)=\frac{(x+3)-(x-1)}{(x+3)^2}=\frac4{(x+3)^2}, \qquad \varphi'(y)=\frac{3(1-y)+(1+3y)}{(1-y)^2}=\frac4{(1-y)^2}.

Da bismo ih uporedili, izražavamo 1−y1-y preko xx:

1−y=1−x−1x+3=4x+3.1-y=1-\frac{x-1}{x+3}=\frac4{x+3}.

Tada je

φ′(y)=4(4x+3)2=(x+3)24=1f′(x).\varphi'(y)=\frac4{\left(\frac4{x+3}\right)^2}=\frac{(x+3)^2}4=\frac1{f'(x)}.

Primer: Pomoću izvoda inverzne funkcije izvesti formulu za izvod funkcije y=arcsin⁡xy=\arcsin x.

Funkcija y=arcsin⁡xy=\arcsin x je inverzna funkciji x=sin⁡yx=\sin y, gde je y∈[−π2,π2]y\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]. Izvod funkcije x=sin⁡yx=\sin y po promenljivoj yy je cos⁡y\cos y, pa je

(arcsin⁡x)′=1cos⁡y.(\arcsin x)'=\frac1{\cos y}.

Za y∈(−π2,π2)y\in\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right) je cos⁡y>0\cos y>0, pa je cos⁡y=1−sin⁡2y=1−x2\cos y=\sqrt{1-\sin^2y}=\sqrt{1-x^2}. Dobijamo formulu iz tablice:

(arcsin⁡x)′=11−x2,−1<x<1.(\arcsin x)'=\frac1{\sqrt{1-x^2}},\qquad -1<x<1.

2. Izvod složene funkcije

Funkcija y=sin⁡(x2)y=\sin(x^2) nije u tablici, ali je sastavljena od dve tablične funkcije: prvo se računa u=x2u=x^2, a zatim y=sin⁡uy=\sin u. Takva funkcija naziva se složena funkcija. Funkcija u=g(x)u=g(x) je unutrašnja, a y=f(u)y=f(u) spoljašnja.

Ako je y=f(u)y=f(u) i u=g(x)u=g(x), onda je

y′=f′(u)⋅u′,odnosno(f(g(x)))′=f′(g(x))⋅g′(x).y'=f'(u)\cdot u',\qquad\text{odnosno}\qquad \bigl(f(g(x))\bigr)'=f'(g(x))\cdot g'(x).

Rečima: izvod spoljašnje funkcije, u kome unutrašnja ostaje nepromenjena, množi se izvodom unutrašnje funkcije.

Kada u tablici izvoda umesto xx stoji funkcija u=u(x)u=u(x), svaki izvod dobija dodatni činilac u′u'.

FunkcijaIzvodFunkcijaIzvod
unu^nnun−1⋅u′nu^{n-1}\cdot u'sin⁡u\sin ucos⁡u⋅u′\cos u\cdot u'
u\sqrt uu′2u\dfrac{u'}{2\sqrt u}cos⁡u\cos u−sin⁡u⋅u′-\sin u\cdot u'
eue^ueu⋅u′e^u\cdot u'tg⁡u\operatorname{tg}uu′cos⁡2u\dfrac{u'}{\cos^2u}
aua^uauln⁡a⋅u′a^u\ln a\cdot u'arcsin⁡u\arcsin uu′1−u2\dfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}
ln⁡u\ln uu′u\dfrac{u'}{u}arctg⁡u\operatorname{arctg}uu′1+u2\dfrac{u'}{1+u^2}

Primer: Odrediti izvode funkcija y=(1−x)20y=(1-x)^{20}, y=ln⁡(3x2+2)y=\ln(3x^2+2), y=sin⁡1xy=\sin\dfrac1x i y=ex+1y=e^{\sqrt{x+1}}.

U svakoj funkciji prvo prepoznajemo unutrašnju funkciju uu.

Funkcijauuu′u'Izvod
(1−x)20(1-x)^{20}1−x1-x−1-120(1−x)19⋅(−1)=−20(1−x)1920(1-x)^{19}\cdot(-1)=-20(1-x)^{19}
ln⁡(3x2+2)\ln(3x^2+2)3x2+23x^2+26x6x6x3x2+2\dfrac{6x}{3x^2+2}
sin⁡1x\sin\dfrac1x1x\dfrac1x−1x2-\dfrac1{x^2}−1x2cos⁡1x-\dfrac1{x^2}\cos\dfrac1x
ex+1e^{\sqrt{x+1}}x+1\sqrt{x+1}12x+1\dfrac1{2\sqrt{x+1}}ex+12x+1\dfrac{e^{\sqrt{x+1}}}{2\sqrt{x+1}}

Poslednji izvod postoji za x>−1x>-1, a pretposlednji za x≠0x\ne0.

Najčešća greška je izostavljanje izvoda unutrašnje funkcije. Izvod funkcije (1−x)20(1-x)^{20} nije 20(1−x)1920(1-x)^{19}, jer nedostaje činilac (1−x)′=−1(1-x)'=-1.

Treba paziti i na zapis stepena trigonometrijskih funkcija: sin⁡2x\sin^2x znači (sin⁡x)2(\sin x)^2, dok sin⁡x2\sin x^2 znači sin⁡(x2)\sin(x^2). Kod prve funkcije spoljašnja je kvadrat, a kod druge sinus:

(sin⁡2x)′=2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x,(sin⁡x2)′=2xcos⁡x2.(\sin^2x)'=2\sin x\cos x=\sin2x,\qquad (\sin x^2)'=2x\cos x^2.

Višestruko složene funkcije

Ako je i unutrašnja funkcija složena, pravilo primenjujemo više puta, idući spolja ka unutra. Svaki sloj daje po jedan činilac.

Primer: y=sin⁡2(cos⁡3x)y=\sin^2(\cos3x)

Funkcija ima četiri sloja: kvadrat, sinus, kosinus i linearnu funkciju 3x3x. Diferenciramo ih redom:

y′=2sin⁡(cos⁡3x)⋅cos⁡(cos⁡3x)⋅(−sin⁡3x)⋅3.y'=2\sin(\cos3x)\cdot\cos(\cos3x)\cdot(-\sin3x)\cdot3.

Prva dva činioca sažimamo formulom 2sin⁡αcos⁡α=sin⁡2α2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha:

y′=−3sin⁡3x⋅sin⁡(2cos⁡3x).y'=-3\sin3x\cdot\sin(2\cos3x).

Primer: y=23xy=2^{3^x}

Spoljašnja funkcija je 2u2^u, a unutrašnja u=3xu=3^x:

y′=23xln⁡2⋅3xln⁡3.y'=2^{3^x}\ln2\cdot3^x\ln3.

Složena funkcija sa proizvodom i količnikom

U većini zadataka pravilo za složenu funkciju kombinuje se sa pravilima za proizvod i količnik. Tada najpre određujemo koje je pravilo glavno, to jest koja se operacija poslednja izvršava.

Primer: y=sin⁡2x⋅sin⁡x2y=\sin^2x\cdot\sin x^2

Glavno pravilo je proizvod, a oba činioca su složene funkcije, čije izvode već znamo:

y′=sin⁡2x⋅sin⁡x2+sin⁡2x⋅2xcos⁡x2.y'=\sin2x\cdot\sin x^2+\sin^2x\cdot2x\cos x^2.

Primer: y=1+x1−xy=\dfrac{1+x}{\sqrt{1-x}}

Funkcija je definisana za x<1x<1. Glavno pravilo je količnik, pri čemu je (1−x)′=−121−x\left(\sqrt{1-x}\right)'=-\dfrac1{2\sqrt{1-x}}:

y′=1−x+1+x21−x1−x.y'=\frac{\sqrt{1-x}+\dfrac{1+x}{2\sqrt{1-x}}}{1-x}.

Brojilac svodimo na zajednički imenilac 21−x2\sqrt{1-x}:

y′=2(1−x)+(1+x)2(1−x)1−x=3−x2(1−x)1−x.y'=\frac{2(1-x)+(1+x)}{2(1-x)\sqrt{1-x}}=\frac{3-x}{2(1-x)\sqrt{1-x}}.

Primer: y=ln⁡(x+x2+1)−xx2+1y=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)-\dfrac x{\sqrt{x^2+1}}

Sabirke diferenciramo posebno. Za prvi je u=x+x2+1u=x+\sqrt{x^2+1} i u′=1+xx2+1=x2+1+xx2+1u'=1+\dfrac x{\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}, pa je

(ln⁡(x+x2+1))′=u′u=1x2+1.\left(\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right)'=\frac{u'}u=\frac1{\sqrt{x^2+1}}.

Za drugi koristimo pravilo za količnik:

(xx2+1)′=x2+1−x⋅xx2+1x2+1=(x2+1)−x2(x2+1)x2+1=1(x2+1)x2+1.\left(\frac x{\sqrt{x^2+1}}\right)'=\frac{\sqrt{x^2+1}-x\cdot\dfrac x{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\frac{(x^2+1)-x^2}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}=\frac1{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}.

Konačno:

y′=1x2+1−1(x2+1)x2+1=x2(x2+1)x2+1.y'=\frac1{\sqrt{x^2+1}}-\frac1{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}=\frac{x^2}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}.

Logaritam proizvoda, količnika ili stepena lakše je diferencirati ako se prvo rastavi pomoću osobina logaritma.

Za y=ln⁡x3=3ln⁡xy=\ln x^3=3\ln x odmah dobijamo y′=3xy'=\dfrac3x.

Za y=14ln⁡x2−1x2+1y=\dfrac14\ln\dfrac{x^2-1}{x^2+1}, gde je ∣x∣>1|x|>1, pišemo y=14(ln⁡(x2−1)−ln⁡(x2+1))y=\dfrac14\left(\ln(x^2-1)-\ln(x^2+1)\right), pa je

y′=14(2xx2−1−2xx2+1)=14⋅4xx4−1=xx4−1.y'=\frac14\left(\frac{2x}{x^2-1}-\frac{2x}{x^2+1}\right)=\frac14\cdot\frac{4x}{x^4-1}=\frac x{x^4-1}.

Primer: y=arcsin⁡(sin⁡x)y=\arcsin(\sin x)

Funkcija je definisana za svako x∈Rx\in\mathbf{R}. Sa u=sin⁡xu=\sin x dobijamo

y′=cos⁡x1−sin⁡2x=cos⁡xcos⁡2x=cos⁡x∣cos⁡x∣.y'=\frac{\cos x}{\sqrt{1-\sin^2x}}=\frac{\cos x}{\sqrt{\cos^2x}}=\frac{\cos x}{|\cos x|}.

Ovde je važno da je cos⁡2x=∣cos⁡x∣\sqrt{\cos^2x}=|\cos x|, a ne cos⁡x\cos x. Zato je

y′={1,cos⁡x>0,−1,cos⁡x<0.y'=\begin{cases}1,&\cos x>0,\\-1,&\cos x<0.\end{cases}

U tačkama x=π2+kπx=\dfrac\pi2+k\pi, k∈Zk\in\mathbf{Z}, gde je cos⁡x=0\cos x=0, izvod ne postoji.

3. Logaritamski izvod

Kod funkcije y=xxy=x^x promenljiva se nalazi i u osnovi i u izložiocu. Na nju se ne može primeniti ni pravilo za xnx^n, jer izložilac nije konstanta, ni pravilo za axa^x, jer osnova nije konstanta. Isto važi za svaku funkciju oblika

y=u(x)v(x),u(x)>0.y=u(x)^{v(x)},\qquad u(x)>0.

Takve funkcije diferenciramo logaritamskim izvodom, u tri koraka:

  1. logaritmujemo obe strane: ln⁡y=vln⁡u\ln y=v\ln u;
  2. diferenciramo obe strane po xx, pri čemu je leva strana složena funkcija, pa je (ln⁡y)′=y′y(\ln y)'=\dfrac{y'}y;
  3. pomnožimo sa yy i umesto yy vratimo polaznu funkciju.

U opštem slučaju dobijamo

y′y=v′ln⁡u+v⋅u′u,y′=uv(v′ln⁡u+v u′u).\frac{y'}y=v'\ln u+v\cdot\frac{u'}u, \qquad y'=u^v\left(v'\ln u+\frac{v\,u'}u\right).

Formulu ne treba pamtiti. Dovoljno je svaki put ponoviti tri koraka.

Primer: y=xxy=x^x, x>0x>0

Logaritmovanjem dobijamo ln⁡y=xln⁡x\ln y=x\ln x. Diferenciramo obe strane, desnu po pravilu za proizvod:

y′y=1⋅ln⁡x+x⋅1x=ln⁡x+1.\frac{y'}y=1\cdot\ln x+x\cdot\frac1x=\ln x+1.

Množenjem sa y=xxy=x^x dobijamo

y′=xx(ln⁡x+1).y'=x^x(\ln x+1).

Izvod funkcije xxx^x nije ni x⋅xx−1x\cdot x^{x-1} ni xxln⁡xx^x\ln x. Pravilo za stepen važi samo kada je izložilac konstanta, a pravilo za eksponencijalnu funkciju samo kada je osnova konstanta.

Primer: y=(sin⁡x)cos⁡xy=(\sin x)^{\cos x}, za sin⁡x>0\sin x>0

Logaritmujemo: ln⁡y=cos⁡x⋅ln⁡sin⁡x\ln y=\cos x\cdot\ln\sin x. Diferenciramo:

y′y=−sin⁡x⋅ln⁡sin⁡x+cos⁡x⋅cos⁡xsin⁡x.\frac{y'}y=-\sin x\cdot\ln\sin x+\cos x\cdot\frac{\cos x}{\sin x}.

Odatle je

y′=(sin⁡x)cos⁡x(cos⁡2xsin⁡x−sin⁡xln⁡sin⁡x).y'=(\sin x)^{\cos x}\left(\frac{\cos^2x}{\sin x}-\sin x\ln\sin x\right).

Primer: y=(1+1x)xy=\left(1+\dfrac1x\right)^x, x>0x>0

Iz ln⁡y=xln⁡(1+1x)\ln y=x\ln\left(1+\dfrac1x\right) sledi

y′y=ln⁡(1+1x)+x⋅−1x21+1x=ln⁡(1+1x)−1x+1.\frac{y'}y=\ln\left(1+\frac1x\right)+x\cdot\frac{-\dfrac1{x^2}}{1+\dfrac1x}=\ln\left(1+\frac1x\right)-\frac1{x+1}.

Zato je

y′=(1+1x)x(ln⁡(1+1x)−1x+1).y'=\left(1+\frac1x\right)^x\left(\ln\left(1+\frac1x\right)-\frac1{x+1}\right).

Primer: y=xxxy=x^{x^x}, x>0x>0

Sada je izložilac funkcija xxx^x, čiji izvod već znamo. Iz ln⁡y=xxln⁡x\ln y=x^x\ln x sledi

y′y=xx(ln⁡x+1)⋅ln⁡x+xx⋅1x.\frac{y'}y=x^x(\ln x+1)\cdot\ln x+x^x\cdot\frac1x.

Zato je

y′=xxx⋅xx(ln⁡2x+ln⁡x+1x).y'=x^{x^x}\cdot x^x\left(\ln^2x+\ln x+\frac1x\right).

Proizvodi i količnici sa mnogo činilaca

Logaritamski izvod je koristan i kada funkcija nema promenljivu u izložiocu, ali je sastavljena od mnogo činilaca, stepena i korena. Logaritam pretvara proizvod u zbir, količnik u razliku, a stepen u činilac, pa se diferenciranje svodi na sabirke oblika u′u\dfrac{u'}u.

Primer: y=x2x+2x5+x−743y=\sqrt[3]{\dfrac{x^2\sqrt{x+2}}{\sqrt[4]{x^5+x-7}}}

Posmatramo vrednosti xx za koje su svi izrazi pod korenima pozitivni. Logaritmujemo i rastavljamo:

ln⁡y=13(2ln⁡x+12ln⁡(x+2)−14ln⁡(x5+x−7)).\ln y=\frac13\left(2\ln x+\frac12\ln(x+2)-\frac14\ln(x^5+x-7)\right).

Diferenciramo obe strane:

y′y=13(2x+12(x+2)−5x4+14(x5+x−7)).\frac{y'}y=\frac13\left(\frac2x+\frac1{2(x+2)}-\frac{5x^4+1}{4(x^5+x-7)}\right).

Na kraju množimo sa yy:

y′=13x2x+2x5+x−743(2x+12(x+2)−5x4+14(x5+x−7)).y'=\frac13\sqrt[3]{\frac{x^2\sqrt{x+2}}{\sqrt[4]{x^5+x-7}}}\left(\frac2x+\frac1{2(x+2)}-\frac{5x^4+1}{4(x^5+x-7)}\right).

Pravila za količnik i složenu funkciju dala bi isti rezultat, ali uz znatno duži račun.

Lekcije iz iste oblasti

2 lekcija

Pojam izvoda funkcije

Izvodi višeg reda

Zadaci za vežbanje

10 ukupno

Odrediti izvode sledećih funkcija u tačkama u kojima oni postoje (x,t,u,v x,t,u,v - nezavisno promenljive, a,b,c,p,q,m a,b,c,p,q,m - konstante): y=x2−3x+4. y=x^2-3x+4 .

Uvodni

Odrediti izvode sledećih funkcija u tačkama u kojima oni postoje (x,t,u,v x,t,u,v - nezavisno promenljive, a,b,c,p,q,m a,b,c,p,q,m - konstante): y=3x4−5x3+6x2−9x+8. y=3x^4-5x^3+6x^2-9x+8 .

Uvodni

Odrediti izvode sledećih funkcija u tačkama u kojima oni postoje (x,t,u,v x,t,u,v - nezavisno promenljive, a,b,c,p,q,m a,b,c,p,q,m - konstante): y=x3+px+q. y=x^3+px+q .

Uvodni

Odrediti izvode sledećih funkcija u tačkama u kojima oni postoje (x,t,u,v x,t,u,v - nezavisno promenljive, a,b,c,p,q,m a,b,c,p,q,m - konstante): y=xa+ax+x2b+bx2. y=\frac xa+\frac ax+\frac{x^2}b+\frac b{x^2} .

Uvodni

Odrediti izvode sledećih funkcija u tačkama u kojima oni postoje (x,t,u,v x,t,u,v - nezavisno promenljive, a,b,c,p,q,m a,b,c,p,q,m - konstante): y=t3+33. y=\sqrt[3]{t}+\sqrt[3]{3} .

Uvodni

Odrediti izvode sledećih funkcija u tačkama u kojima oni postoje (x,t,u,v x,t,u,v - nezavisno promenljive, a,b,c,p,q,m a,b,c,p,q,m - konstante): y=x5+3x8+x−9+4x8. y=x^5+3x^8+x^{-9}+\frac{4}{x^8} .

Uvodni

Odrediti izvode sledećih funkcija u tačkama u kojima oni postoje (x,t,u,v x,t,u,v - nezavisno promenljive, a,b,c,p,q,m a,b,c,p,q,m - konstante): y=5x+5x. y=5x+\frac5{\sqrt x} .

Uvodni

Odrediti izvode sledećih funkcija u tačkama u kojima oni postoje (x,t,u,v x,t,u,v - nezavisno promenljive, a,b,c,p,q,m a,b,c,p,q,m - konstante): y=(u−cu)2. y=(u-c\sqrt u)^2 .

Uvodni

Odrediti izvode sledećih funkcija u tačkama u kojima oni postoje (x,t,u,v x,t,u,v - nezavisno promenljive, a,b,c,p,q,m a,b,c,p,q,m - konstante): y=(v+1)(v−1). y=(v+1)(v-1) .

Uvodni

Odrediti izvode sledećih funkcija u tačkama u kojima oni postoje (x,t,u,v x,t,u,v - nezavisno promenljive, a,b,c,p,q,m a,b,c,p,q,m - konstante): y=53t3−4t3+65t. y=\frac53t^3-\frac{4\sqrt t}{3}+\frac6{5t} .

Uvodni