Ispitivanje toka funkcije

Prvi izvod govori kako se funkcija menja (da li raste ili opada), a drugi izvod kako se savija njen grafik. Pomoću njih nalazimo najveće i najmanje vrednosti funkcije i crtamo njen grafik.

Sadržaj

Monotonost funkcije
Ekstremne vrednosti funkcije
Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke
Asimptote funkcije
Ispitivanje toka funkcije

1. Monotonost funkcije

Funkcija raste na intervalu ako veći argument daje veću vrednost funkcije, a opada ako veći argument daje manju vrednost. Znak prvog izvoda određuje to ponašanje:

ako je $f'(x)>0$ na intervalu, funkcija na tom intervalu raste;
ako je $f'(x)<0$ na intervalu, funkcija na tom intervalu opada.

Intervale monotonosti nalazimo ovako:

Odredimo domen funkcije.
Izračunamo $f'(x)$ i rešimo $f'(x)=0$ . Tačke u kojima je $f'(x)=0$ (ili u kojima izvod ne postoji) dele domen na intervale.
Na svakom intervalu odredimo znak izvoda.

Primer 1: Odrediti intervale monotonosti funkcije $y=2x^3+3x^2-2$ .

Domen je $\mathbf{R}$ . Izvod je $y'=6x^2+6x=6x(x+1)$ , pa je $y'=0$ za $x=-1$ i $x=0$ .

$x$	$(-\infty,-1)$	$(-1,0)$	$(0,+\infty)$
$y'$	$+$	$-$	$+$
$y$	raste	opada	raste

Funkcija raste na $(-\infty,-1)$ i $(0,+\infty)$ , a opada na $(-1,0)$ .

Primer 2: Odrediti intervale monotonosti funkcije $y=2x^2-\ln x$ .

Domen je $x>0$ . Izvod je

y'=4x-\frac1x=\frac{4x^2-1}{x}=\frac{(2x-1)(2x+1)}{x}.

Na domenu je $x>0$ i $2x+1>0$ , pa znak izvoda zavisi samo od $2x-1$ . Izvod je nula za $x=\dfrac12$ .

$x$	$\left(0,\frac12\right)$	$\left(\frac12,+\infty\right)$
$y'$	$-$	$+$
$y$	opada	raste

Primer 3: Za koje vrednosti parametra $a$ funkcija $f(x)=\dfrac{a^2-1}{3}x^3+(a-1)x^2+2x+1$ raste za sve $x\in\mathbf{R}$ ?

Izvod je $f'(x)=(a^2-1)x^2+2(a-1)x+2$ i mora biti $f'(x)\ge0$ za svako $x$ .

Ako je $a^2-1=0$ : za $a=1$ je $f'(x)=2>0$ , što odgovara. Za $a=-1$ je $f'(x)=-4x+2$ , što menja znak, pa ne odgovara.
Ako je $a^2-1\ne0$ : kvadratni trinom je nenegativan za svako $x$ kada je $a^2-1>0$ i diskriminanta $D\le0$ . Ovde je

D=4(a-1)^2-8(a^2-1)=-4(a-1)(a+3)\le0\iff(a-1)(a+3)\ge0,

odakle je $a\le-3$ ili $a\ge1$ . Uz uslov $a^2-1>0$ , tj. $|a|>1$ , dobijamo $a\le-3$ ili $a>1$ .

Spajanjem sa slučajem $a=1$ dobijamo $a\in(-\infty,-3]\cup[1,+\infty)$ .

2. Ekstremne vrednosti funkcije

Lokalni ekstremi

Tačka $x_0$ je tačka lokalnog maksimuma ako je $f(x_0)$ najveća vrednost funkcije u nekoj okolini te tačke, a tačka lokalnog minimuma ako je $f(x_0)$ najmanja vrednost u okolini. Zajedničko ime je lokalni ekstremi.

Ekstremi mogu postojati samo u stacionarnim tačkama, a to su tačke u kojima je $f'(x_0)=0$ (ili u kojima izvod ne postoji, a funkcija je definisana). Da li je u stacionarnoj tački zaista ekstrem, proveravamo na dva načina:

Promena znaka $f'$ : ako $f'$ prelazi iz $+$ u $-$ , to je lokalni maksimum, a ako prelazi iz $-$ u $+$ , lokalni minimum. Ako znak ostaje isti, ekstrema nema.
Drugi izvod: ako je $f'(x_0)=0$ i $f''(x_0)>0$ , imamo lokalni minimum, a ako je $f''(x_0)<0$ , lokalni maksimum.

Primer 4: Odrediti intervale monotonosti i lokalne ekstreme funkcije $y=2x^3-6x^2-18x+7$ .

Izvod je $y'=6x^2-12x-18=6(x+1)(x-3)$ , pa su stacionarne tačke $x=-1$ i $x=3$ .

$x$	$(-\infty,-1)$	$-1$	$(-1,3)$	$3$	$(3,+\infty)$
$y'$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$y$	raste	max	opada	min	raste

Lokalni maksimum je $y(-1)=-2-6+18+7=17$ , a lokalni minimum je $y(3)=54-54-54+7=-47$ .

Primer 5: Odrediti $a$ i $b$ tako da funkcija $f(x)=a\ln x+bx^2+x$ ima ekstreme u tačkama $x=1$ i $x=2$ .

Izvod je $f'(x)=\dfrac ax+2bx+1$ . Iz $f'(1)=0$ i $f'(2)=0$ dobijamo

a+2b+1=0,\qquad a+8b+2=0.

Oduzimanjem je $6b+1=0$ , pa je $b=-\dfrac16$ i $a=-1-2b=-\dfrac23$ .

Provera: $f'(x)=-\dfrac{(x-1)(x-2)}{3x}$ menja znak u obe tačke, pa je $x=1$ lokalni minimum, a $x=2$ lokalni maksimum.

Najveća i najmanja vrednost na segmentu

Neprekidna funkcija na segmentu $[a,b]$ dostiže najveću i najmanju vrednost. Te vrednosti su u stacionarnim tačkama iz $[a,b]$ ili na krajevima segmenta. Zato izračunamo vrednosti funkcije u svim tim tačkama i uporedimo ih.

Primer 6: Odrediti najveću i najmanju vrednost funkcije $y=-x^3+3x^2+5$ na segmentu $[0,3]$ .

Izvod je $y'=-3x^2+6x=-3x(x-2)$ , pa su stacionarne tačke $x=0$ i $x=2$ , obe u segmentu. Računamo:

y(0)=5,\qquad y(2)=-8+12+5=9,\qquad y(3)=-27+27+5=5.

Najveća vrednost je $9$ (za $x=2$ ), a najmanja je $5$ (za $x=0$ i $x=3$ ).

3. Konveksnost, konkavnost i prevojne tačke

Grafik funkcije može da se „savija“ na dva načina. Znak drugog izvoda određuje kako:

ako je $f''(x)>0$ na intervalu, funkcija je konveksna na tom intervalu (grafik je iznad svojih tangenti, savijen kao slovo U, oznaka $\cup$ ). Učenici kažu: funkcija se smeje ;)
ako je $f''(x)<0$ na intervalu, funkcija je konkavna (grafik je ispod svojih tangenti, savijen kao obrnuto U, oznaka $\cap$ ). Učenici kažu: funkcija je tužna :(

Tačka grafika u kojoj funkcija prelazi iz konveksne u konkavnu (ili obrnuto) je prevojna tačka. Ako je $x_0$ apscisa prevojne tačke, onda je $f''(x_0)=0$ . Obrnuto ne važi: treba proveriti da li $f''$ stvarno menja znak u $x_0$ .

Postupak: rešimo $f''(x)=0$ , tim tačkama podelimo domen na intervale i odredimo znak $f''$ na svakom.

Primer 8: Ispitati konveksnost i konkavnost i odrediti prevojne tačke grafika funkcije $f(x)=x^4-6x^2+4$ .

Izvodi su $f'(x)=4x^3-12x$ i $f''(x)=12x^2-12=12(x-1)(x+1)$ , pa je $f''=0$ za $x=\pm1$ .

$x$	$(-\infty,-1)$	$(-1,1)$	$(1,+\infty)$
$f''$	$+$	$-$	$+$
$f$	konveksna $\cup$ (smeje se)	konkavna $\cap$ (tužna)	konveksna $\cup$ (smeje se)

Drugi izvod menja znak u obe tačke, a $f(\pm1)=1-6+4=-1$ . Prevojne tačke su $(-1,-1)$ i $(1,-1)$ .

Primer 9: Ispitati konveksnost i konkavnost i odrediti prevojne tačke grafika funkcije $f(x)=x^6$ .

Drugi izvod je $f''(x)=30x^4$ , pa je $f''(0)=0$ . Međutim, $f''(x)>0$ i levo i desno od nule, odnosno znak se ne menja. Funkcija je konveksna na celom $\mathbf{R}$ i nema prevojnih tačaka.

Primer 10: Odrediti $m$ tako da kriva $y=mx^3-6x^2$ ima prevojnu tačku za $x=1$ .

Drugi izvod je $y''=6mx-12$ . Iz $y''(1)=0$ dobijamo $6m-12=0$ , odnosno $m=2$ . Tada je $y''=12x-12$ , što menja znak u $x=1$ , pa je to zaista prevojna tačka.

4. Asimptote funkcije

Asimptota je prava kojoj se grafik funkcije sve više približava. Postoje tri vrste:

vertikalna asimptota $x=a$ ,
horizontalna asimptota $y=n$ ,
kosa asimptota $y=kx+n$ .

Vertikalna asimptota

Prava $x=a$ je vertikalna asimptota ako je bar jedna jednostrana granica u tački $a$ beskonačna:

\lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty\qquad\text{ili}\qquad\lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty.

Kandidati su tačke van domena (na primer nule imenioca) i krajevi domena. Levu i desnu granicu računamo posebno. Ako su i brojilac i imenilac jednaki $0$ , razlomak skratimo ili primenimo Lopitalovu teoremu. Grafik ne seče vertikalnu asimptotu.

Horizontalna asimptota

Prava $y=n$ je horizontalna asimptota ako je

\lim_{x\to+\infty}f(x)=n\qquad\text{ili}\qquad\lim_{x\to-\infty}f(x)=n,\qquad n\in\mathbf{R}.

Granice za $+\infty$ i $-\infty$ računamo posebno, jer mogu biti različite (na primer, $\operatorname{arctg}x$ teži ka $\frac\pi2$ i ka $-\frac\pi2$ ). Kod racionalne funkcije $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ : ako je stepen $P$ manji od stepena $Q$ , asimptota je $y=0$ ; ako su stepeni jednaki, $y$ je količnik vodećih koeficijenata; ako je stepen $P$ veći, horizontalne asimptote nema.

Kosa asimptota

Ako horizontalne asimptote nema, a $f(x)$ raste kao $x$ , tražimo pravu $y=kx+n$ gde je

k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x},\qquad n=\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-kx\big).

Ako $k$ ili $n$ nisu konačni brojevi, kose asimptote nema. Kod racionalne funkcije kosa asimptota postoji kada je stepen brojioca za jedan veći od stepena imenioca, a njena jednačina je količnik pri deljenju polinoma.

5. Ispitivanje toka funkcije

Ispitivanje toka funkcije objedinjuje sve iz prethodnih poglavlja. Cilj je da iz formule saznamo kako izgleda grafik i da ga skiciramo. Postupak je sledeći:

Domen funkcije.
Parnost (grafik je simetričan u odnosu na $y$ -osu ako je $f(-x)=f(x)$ , a u odnosu na koordinatni početak ako je $f(-x)=-f(x)$ ) i periodičnost.
Nule i znak funkcije. Nule su rešenja jednačine $f(x)=0$ , a presek sa $y$ -osom je $f(0)$ .
Asimptote: vertikalne, horizontalne i kose (poglavlje 4).
Prvi izvod: rast, opadanje i lokalni ekstremi.
Drugi izvod: konveksnost, konkavnost i prevojne tačke.
Tabela sa svim podacima i skica grafika.

Primer 11: Ispitati tok i skicirati grafik funkcije $f(x)=\dfrac{x^2}{x-2}$ .

1. Domen. Imenilac je nula za $x=2$ , pa je domen $\mathbf{R}\setminus\{2\}$ .

2. Parnost. Domen nije simetričan u odnosu na nulu (broj $-2$ pripada domenu, a $2$ ne pripada), zato funkcija nije ni parna ni neparna.

3. Nule i znak. $f(x)=0$ za $x=0$ , to je jedina nula i ujedno presek sa obe ose. Brojilac je nenegativan, pa znak zavisi od imenioca: $f(x)<0$ za $x<2$ (osim u nuli), a $f(x)>0$ za $x>2$ .

4. Asimptote. Kako je $\lim_{x\to2^-}f(x)=-\infty$ i $\lim_{x\to2^+}f(x)=+\infty$ , prava $x=2$ je vertikalna asimptota. Horizontalne nema, jer $f(x)\to\pm\infty$ kada $x\to\pm\infty$ . Kosa asimptota:

k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2}{x(x-2)}=1,\qquad n=\lim_{x\to\pm\infty}\left(\frac{x^2}{x-2}-x\right)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x}{x-2}=2,

pa je kosa asimptota $y=x+2$ (i za $x\to+\infty$ i za $x\to-\infty$ ).

5. Prvi izvod.

f'(x)=\frac{2x(x-2)-x^2}{(x-2)^2}=\frac{x^2-4x}{(x-2)^2}=\frac{x(x-4)}{(x-2)^2}.

Stacionarne tačke su $x=0$ i $x=4$ . Imenilac je pozitivan, pa znak $f'$ zavisi od $x(x-4)$ : pozitivan je za $x<0$ i $x>4$ , a negativan za $0<x<4$ ( $x\ne2$ ). Dakle, funkcija raste na $(-\infty,0)$ i $(4,+\infty)$ , a opada na $(0,2)$ i $(2,4)$ . Lokalni maksimum je $f(0)=0$ , a lokalni minimum je $f(4)=\dfrac{16}{2}=8$ .

6. Drugi izvod.

f''(x)=\frac{(2x-4)(x-2)^2-(x^2-4x)\cdot2(x-2)}{(x-2)^4}=\frac{2(x-2)^2-2(x^2-4x)}{(x-2)^3}=\frac{8}{(x-2)^3}.

Drugi izvod nikada nije nula. Za $x<2$ je $f''<0$ (konkavna), a za $x>2$ je $f''>0$ (konveksna). Prevojnih tačaka nema, jer se znak menja samo u $x=2$ , koje nije u domenu.

7. Tabela.

$x$	$(-\infty,0)$	$0$	$(0,2)$	$2$	$(2,4)$	$4$	$(4,+\infty)$
$f'$	$+$	$0$	$-$	nije def.	$-$	$0$	$+$
$f''$	$-$	$-$	$-$	nije def.	$+$	$+$	$+$
$f$	raste, konkavna $\cap$	max $0$	opada, konkavna $\cap$	asimptota	opada, konveksna $\cup$	min $8$	raste, konveksna $\cup$

Dobijeni podaci daju sledeći grafik.

Plava kriva je grafik funkcije, a crvena isprekidana prava je kosa asimptota $y=x+2$ . Vertikalna asimptota je prava $x=2$ (kriva joj se približava, ali je ne seče).

Započni učenje

Privatni časovi