5755. Ispitivanje toka funkcije

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda.

Eksponencijalna funkcija je definisana za svako $x .$ Oblast definisanosti je $D=\mathbb{R} .$

Računamo prvi izvod i sređujemo ga do oblika proizvoda, iz kog se lako čita znak:

f'(x)=2^{x} \left(2^{x} - 2\right)^{2} \ln{\left(2 \right)} + 2 \cdot 2^{x} \left(2^{x} - 2\right) \left(2^{x} - 1\right) \ln{\left(2 \right)}=2^{x} \left(2^{x} - 2\right) \left(3 \cdot 2^{x} - 4\right) \ln{\left(2 \right)}

Prvi izvod je jednak nuli ili ne postoji u tačkama $x=\log_2\frac43\approx0{,}415 ,$ $x=1 .$ One, zajedno sa tačkama prekida, dele oblast definisanosti na intervale na kojima izvod ima stalan znak.

x\in(-\infty,\log_2\frac43)

x\in(\log_2\frac43,1)

x\in(1,+\infty)

2^{x}

+

+

+

3 \cdot 2^{x} - 4

-

+

+

2^{x} - 2

-

-

+

f'(x)

+

-

+

f(x)

\nearrow

\searrow

\nearrow

Nula činioca $3\cdot2^x-4$ je rešenje jednačine $2^x=\frac43 ,$ tj. $x=\log_2\frac43\approx0{,}415 .$

Zaključujemo: funkcija raste na $(-\infty,\log_2\frac43)$ i na $(1,+\infty) ,$ a opada na $(\log_2\frac43,1) .$

Započni učenje

Online časovi

232.d

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci