232.j

Iz gradiva: diferencijabilna funkcija $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ je na intervalu $(a,b)$ rastuća ako i samo ako je $f'(x)\geq0$ za sve $x\in(a,b) ,$ a opadajuća ako i samo ako je $f'(x)\leq0$ za sve $x\in(a,b) .$ Zato monotonost određujemo iz znaka prvog izvoda.

Izvod je periodičan sa periodom $2\pi ,$ pa je dovoljno ispitati njegov znak na $[0,2\pi] .$ Izvod je nula kada je $\cos x=\frac12 ,$ tj. za $x=\frac\pi3$ i $x=\frac{5\pi}3 :$

Provera: za $x=\pi$ je $y'=1-2\cdot(-1)=3>0 ,$ a za $x=0$ je $y'=1-2=-1<0 .$ Zbog periodičnosti izvoda isti raspored se ponavlja na svakom intervalu dužine $2\pi .$

Funkcija raste na intervalima $\left(\frac\pi3+2k\pi,\frac{5\pi}3+2k\pi\right) ,$ a opada na $\left(-\frac\pi3+2k\pi,\frac\pi3+2k\pi\right) ,$ $k\in\mathbf{Z} .$