5727. Lopitalove teoreme

Prva Lopitalova teorema (oblik $\frac00$ ): ako $f(x)\to0$ i $g(x)\to0$ kada $x\to a ,$ funkcije imaju izvode u okolini tačke $a$ i $g'(x)\neq0 ,$ tada iz $\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=k$ (konačno ili beskonačno) sledi $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=k .$

Za $x=3 :$ $7^0-3^0=0$ i $\operatorname{arctg}0=0 ,$ oblik $\frac00 .$ Izvodi; $(a^u)'=a^u\ln a\cdot u'$ i $(\operatorname{arctg}u)'=\frac{u'}{1+u^2} :$

\left(7^{x-3}-3^{x-3}\right)'=7^{x-3}\ln7-3^{x-3}\ln3, \qquad \left(\operatorname{arctg}(x^2-9)\right)'=\frac{2x}{1+(x^2-9)^2}

Uvrštavamo $x=3 :$

\lim_{x\to3}\frac{7^{x-3}\ln7-3^{x-3}\ln3}{\frac{2x}{1+(x^2-9)^2}}=\frac{\ln7-\ln3}{6}=\frac16\ln\frac73

Provera brojevima: vrednosti izraza kada se $x$ približava $3 :$

x=2{,}99:\ 0{,}139482, \qquad x=3{,}01:\ 0{,}143316, \qquad x=3{,}001:\ 0{,}14141

Granična vrednost je $\frac16\ln\frac73\approx0{,}1412 .$

Započni učenje

Online časovi

228.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci