5728. Lopitalove teoreme

Druga Lopitalova teorema (oblik $\frac\infty\infty$ ): ako $f(x)\to\pm\infty$ i $g(x)\to\pm\infty$ kada $x\to a ,$ funkcije imaju izvode i $g'(x)\neq0 ,$ tada iz $\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=k$ (konačno ili beskonačno) sledi $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=k .$ Teorema važi i za $a=\pm\infty .$

Logaritam je definisan za $x>0 ,$ pa $x\to0$ znači $x\to0^+ .$ Tada $x\to0 ,$ a $\ln x\to-\infty :$ oblik $0\cdot\infty .$ Proizvod pretvaramo u količnik, $x\ln x=\frac{\ln x}{\frac1x} ,$ oblika $\frac\infty\infty :$

\lim_{x\to0^+}\frac{\ln x}{\frac1x}=\lim_{x\to0^+}\frac{\frac1x}{-\frac1{x^2}}=\lim_{x\to0^+}(-x)=0

Provera brojevima: vrednosti izraza kada se $x$ približava $0 :$

x=0{,}1:\ -0{,}230259, \qquad x=0{,}01:\ -0{,}0460517, \qquad x=0{,}001:\ -0{,}00690776

Granična vrednost je $0 :$ $x$ teži nuli „brže” nego što $\ln x$ teži $-\infty$ ; grafik se približava pravoj $y=0 .$

Započni učenje

Online časovi

228.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci