131.a

Podsetimo se definicije: funkcija $f$ ima graničnu vrednost $b$ u tački $x_0 ,$ što pišemo $\lim_{x\to x_0}f(x)=b ,$ ako za svako $\varepsilon>0$ postoji $\delta>0$ tako da za svako $x$ iz oblasti definisanosti za koje je $0<|x-x_0|<\delta$ važi $|f(x)-b|<\varepsilon .$ Jednostavno rečeno: vrednosti $f(x)$ su proizvoljno blizu broja $b$ čim je $x$ dovoljno blizu broja $x_0 .$ Uslov $0<|x-x_0|$ znači da je $x\neq x_0 :$ vrednost funkcije u samoj tački $x_0$ nije bitna, funkcija tamo ne mora ni biti definisana.

Koristimo važne granične vrednosti: $\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1 ,$ $\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$ i $\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a$ ($a>0 ,$ $a\neq1$). Brojevima: za $x=0{,}01$ je $\frac{\ln1{,}01}{0{,}01}\approx0{,}99503$ i $\frac{e^{0{,}01}-1}{0{,}01}\approx1{,}00502 .$ Po pravilu o smeni, umesto $x$ može stajati bilo koji izraz koji teži nuli.

Provera za $a=2 ,$ $x=0{,}001 :$ $\frac{\log_21{,}001}{0{,}001}\approx1{,}442 ,$ a $\frac1{\ln2}\approx1{,}4427 .$

Rešenje: $\lim_{x\to0}\frac{\log_a(1+x)}{x}=\frac{1}{\ln a} .$