5736. Lopitalove teoreme

Prva Lopitalova teorema (oblik $\frac00$ ): ako $f(x)\to0$ i $g(x)\to0$ kada $x\to a ,$ funkcije imaju izvode u okolini tačke $a$ i $g'(x)\neq0 ,$ tada iz $\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=k$ (konačno ili beskonačno) sledi $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=k .$

Oblik $\frac00 .$ Izvod brojioca je $\frac1{\cos^2x}-1=\frac{1-\cos^2x}{\cos^2x}=\frac{\sin^2x}{\cos^2x} ,$ a imenioca $1-\cos x :$

\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{tg}x-x}{x-\sin x}=\lim_{x\to0}\frac{\sin^2x}{\cos^2x(1-\cos x)}

Umesto ponovne primene teoreme, uprošćavamo: $\sin^2x=1-\cos^2x=(1-\cos x)(1+\cos x) ,$ pa se $1-\cos x$ skraćuje:

=\lim_{x\to0}\frac{1+\cos x}{\cos^2x}=\frac{2}{1}=2

Provera brojevima: vrednosti izraza kada se $x$ približava $0 :$

x=-0{,}01:\ 2{,}00009, \qquad x=0{,}01:\ 2{,}00009, \qquad x=0{,}001:\ 2

Granična vrednost je $2$ ; grafik se približava pravoj $y=2 .$

Započni učenje

Online časovi

229.đ

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci