5740. Lopitalove teoreme

Prva Lopitalova teorema (oblik $\frac00$ ): ako $f(x)\to0$ i $g(x)\to0$ kada $x\to a ,$ funkcije imaju izvode u okolini tačke $a$ i $g'(x)\neq0 ,$ tada iz $\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=k$ (konačno ili beskonačno) sledi $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=k .$

Za $x=\pi :$ brojilac $\sin\frac\pi2+\cos\pi=1-1=0 ,$ imenilac $1+0-1=0 .$ Prva primena:

\lim_{x\to\pi}\frac{\frac12\cos\frac x2-\sin x}{2\sin x\cos x-\sin x}=\lim_{x\to\pi}\frac{\frac12\cos\frac x2-\sin x}{\sin2x-\sin x}

U $x=\pi$ je opet $\frac00$ ( $\cos\frac\pi2=0 ,$ $\sin\pi=\sin2\pi=0$ ). Druga primena:

=\lim_{x\to\pi}\frac{-\frac14\sin\frac x2-\cos x}{2\cos2x-\cos x}=\frac{-\frac14+1}{2+1}=\frac{\frac34}3=\frac14

Provera brojevima: vrednosti izraza kada se $x$ približava $\pi :$

x=\pi-0{,}01:\ 0{,}250004, \qquad x=\pi+0{,}01:\ 0{,}250004, \qquad x=\pi+0{,}001:\ 0{,}25

Granična vrednost je $\frac14$ ; grafik se približava pravoj $y=\frac14 .$

Započni učenje

Online časovi

230.a

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci