5744. Lopitalove teoreme

Prva Lopitalova teorema (oblik $\frac00$ ): ako $f(x)\to0$ i $g(x)\to0$ kada $x\to a ,$ funkcije imaju izvode u okolini tačke $a$ i $g'(x)\neq0 ,$ tada iz $\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=k$ (konačno ili beskonačno) sledi $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=k .$ Koristimo i poznatu graničnu vrednost $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1$ (lako se dobija i prvom teoremom: $\lim_{x\to0}\frac{\cos x}1=1$ ).

Imenilac zapisujemo kao $x^5\cdot\frac{\sin x}x$ ; drugi činilac teži $1 ,$ pa je dovoljno naći granicu brojioca $N(x)=2x+x\cos x-3\sin x$ podeljenog sa $x^5 .$ Izvodi brojioca:

N'=2-2\cos x-x\sin x, \quad N''=\sin x-x\cos x, \quad N'''=x\sin x, \quad N^{\mathrm{IV}}=\sin x+x\cos x, \quad N^{(5)}=2\cos x-x\sin x

U nuli su $N,N',N'',N''',N^{\mathrm{IV}}$ jednaki nuli, pa teoremu primenjujemo pet puta; peti izvod od $x^5$ je $5!=120 :$

\lim_{x\to0}\frac{N(x)}{x^5}=\lim_{x\to0}\frac{2\cos x-x\sin x}{120}=\frac2{120}=\frac1{60}

Provera brojevima: vrednosti izraza kada se $x$ približava $0 :$

x=-0{,}01:\ 0{,}0166669, \qquad x=0{,}01:\ 0{,}0166669, \qquad x=0{,}001:\ 0{,}0166667

Granična vrednost je $\frac1{60} .$

Započni učenje

Online časovi

230.e

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci