5749. Lopitalove teoreme

Prva Lopitalova teorema (oblik $\frac00$ ): ako $f(x)\to0$ i $g(x)\to0$ kada $x\to a ,$ funkcije imaju izvode u okolini tačke $a$ i $g'(x)\neq0 ,$ tada iz $\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=k$ (konačno ili beskonačno) sledi $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=k .$ Koristimo i $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x=1 .$

Oblik je $\infty-\infty .$ Svodimo na zajednički imenilac i rastavljamo razliku kvadrata:

\operatorname{ctg}^2x-\frac1{x^2}=\frac{x^2\cos^2x-\sin^2x}{x^2\sin^2x}=\frac{x\cos x-\sin x}{x^3}\cdot\frac{x\cos x+\sin x}x\cdot\frac{x^2}{\sin^2x}

Prvi činilac je oblika $\frac00$ ; po prvoj teoremi:

\lim_{x\to0}\frac{x\cos x-\sin x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x-x\sin x-\cos x}{3x^2}=\lim_{x\to0}\left(-\frac{\sin x}{3x}\right)=-\frac13

Drugi činilac je $\cos x+\frac{\sin x}x\to2 ,$ a treći $\to1 .$ Množimo:

\lim_{x\to0}\left(\operatorname{ctg}^2x-\frac1{x^2}\right)=-\frac13\cdot2\cdot1=-\frac23

Provera brojevima: vrednosti izraza kada se $x$ približava $0 :$

x=-0{,}01:\ -0{,}66666, \qquad x=0{,}01:\ -0{,}66666, \qquad x=0{,}001:\ -0{,}666667

Granična vrednost je $-\frac23$ ; grafik se približava pravoj $y=-\frac23 .$

Započni učenje

Online časovi

231.d

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci