5742. Lopitalove teoreme

Prva Lopitalova teorema (oblik $\frac00$ ): ako $f(x)\to0$ i $g(x)\to0$ kada $x\to a ,$ funkcije imaju izvode u okolini tačke $a$ i $g'(x)\neq0 ,$ tada iz $\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=k$ (konačno ili beskonačno) sledi $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=k .$ Koristimo i poznatu graničnu vrednost $\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}=e .$

Zato je oblik $\frac{e-e}0=\frac00 .$ Izvod funkcije $y=(1+x)^{1/x}$ nalazimo logaritamskim izvodom: $\ln y=\frac{\ln(1+x)}x ,$ pa je:

y'=(1+x)^{1/x}\cdot\frac{\frac x{1+x}-\ln(1+x)}{x^2}

Imenilac $x$ ima izvod $1 ,$ pa tražimo granicu od $y' .$ Prvi činilac teži $e$ ; za drugi (oblik $\frac00$ ) primenjujemo teoremu:

\lim_{x\to0}\frac{\frac x{1+x}-\ln(1+x)}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\frac1{(1+x)^2}-\frac1{1+x}}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{-x}{2x(1+x)^2}=-\frac12

Množimo granice:

\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^{1/x}-e}x=e\cdot\left(-\frac12\right)=-\frac e2

Provera brojevima: vrednosti izraza kada se $x$ približava $0 :$

x=-0{,}01:\ -1{,}37172, \qquad x=0{,}01:\ -1{,}3468, \qquad x=0{,}001:\ -1{,}3579

Granična vrednost je $-\frac e2\approx-1{,}359 .$

Započni učenje

Online časovi

230.d

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci