5745. Lopitalove teoreme

Prva Lopitalova teorema (oblik $\frac00$ ): ako $f(x)\to0$ i $g(x)\to0$ kada $x\to a ,$ funkcije imaju izvode u okolini tačke $a$ i $g'(x)\neq0 ,$ tada iz $\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=k$ (konačno ili beskonačno) sledi $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=k .$

Za $x=0 :$ brojilac $0+0-2+2=0 ,$ imenilac $0 .$ Diferenciranje $(e^x-1)^3$ tri puta bilo bi dugo, pa imenilac zapisujemo kao $x^3\left(\frac{e^x-1}x\right)^3 .$ Po prvoj teoremi $\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}x=\lim_{x\to0}\frac{e^x}1=1 ,$ pa je dovoljno naći granicu brojioca podeljenog sa $x^3 :$

\lim_{x\to0}\frac{N(x)}{(e^x-1)^3}=\lim_{x\to0}\frac{N(x)}{x^3}\cdot\lim_{x\to0}\left(\frac{x}{e^x-1}\right)^3=\lim_{x\to0}\frac{N(x)}{x^3}, \qquad N(x)=xe^{2x}+xe^x-2e^{2x}+2e^x

Izvodi brojioca (svaki je u nuli jednak nuli osim trećeg):

N'=2xe^{2x}-3e^{2x}+xe^x+3e^x, \quad N''=4xe^{2x}-4e^{2x}+xe^x+4e^x, \quad N'''=8xe^{2x}-4e^{2x}+xe^x+5e^x

Pošto je $N(0)=N'(0)=N''(0)=0 ,$ teoremu primenjujemo tri puta; izvodi od $x^3$ su $3x^2 ,$ $6x ,$ $6 :$

\lim_{x\to0}\frac{N(x)}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{N'''(x)}{6}=\frac{-4+5}{6}=\frac16

Provera brojevima: vrednosti izraza kada se $x$ približava $0 :$

x=-0{,}01:\ 0{,}166665, \qquad x=0{,}01:\ 0{,}166665, \qquad x=0{,}001:\ 0{,}166667

Granična vrednost je $\frac16$ ; grafik se približava pravoj $y=\frac16 .$

Započni učenje

Online časovi

230.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci