5743. Lopitalove teoreme

Prva Lopitalova teorema (oblik $\frac00$ ): ako $f(x)\to0$ i $g(x)\to0$ kada $x\to a ,$ funkcije imaju izvode u okolini tačke $a$ i $g'(x)\neq0 ,$ tada iz $\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=k$ (konačno ili beskonačno) sledi $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=k .$

Oblik $\frac00 .$ Izvodi brojioca (po pravilu za proizvod; u nuli su prva dva jednaka nuli):

\left(e^x\sin x-x-x^2\right)'=e^x(\sin x+\cos x)-1-2x, \quad (\dots)''=2e^x\cos x-2, \quad (\dots)'''=2e^x(\cos x-\sin x)

Teoremu primenjujemo tri puta; izvodi od $x^3$ su $3x^2 ,$ $6x ,$ $6 :$

\lim_{x\to0}\frac{e^x\sin x-x(1+x)}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{2e^x(\cos x-\sin x)}6=\frac26=\frac13

Provera brojevima: vrednosti izraza kada se $x$ približava $0 :$

x=-0{,}01:\ 0{,}33333, \qquad x=0{,}01:\ 0{,}33333, \qquad x=0{,}001:\ 0{,}333333

Granična vrednost je $\frac13$ ; grafik se približava pravoj $y=\frac13 .$

Započni učenje

Online časovi

230.đ

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci