Inverzne trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije rade u jednom smeru: ulaz je ugao, izlaz je broj. Na primer:

sin⁡30°=12\sin 30° = \frac{1}{2}

Ali šta ako znamo sinus, a tražimo ugao?

sin⁡x=12\sin x = \frac{1}{2}

Tada koristimo inverznu funkciju:

x=arcsin⁡12=30°x = \arcsin\frac{1}{2} = 30°

Dakle: sin⁡\sin pretvara ugao u broj, a arcsin⁡\arcsin pretvara broj u ugao. Isto važi za ostale funkcije:

Trigonometrijska funkcijaInverzna funkcija
sin⁡x=a\sin x = ax=arcsin⁡ax = \arcsin a
cos⁡x=a\cos x = ax=arccos⁡ax = \arccos a
tg⁡x=a\operatorname{tg} x = ax=arctg⁡ax = \operatorname{arctg} a
ctg⁡x=a\operatorname{ctg} x = ax=arcctg⁡ax = \operatorname{arcctg} a

Trigonometrijske funkcije ne daju jedinstvene vrednosti. Na primer:

sin⁡30°=sin⁡150°=12\sin 30° = \sin 150° = \frac{1}{2}

Ako napišemo arcsin⁡12\arcsin\frac{1}{2}, postavlja se pitanje: da li rezultat treba da bude 30°30° ili 150°150°? Da bi inverzna funkcija bila dobro definisana, za svaki broj mora da vrati tačno jedan ugao. Zato se za svaku trigonometrijsku funkciju bira interval na kome ona ne ponavlja vrednosti. Tada svakoj vrednosti odgovara tačno jedan ugao.

Na primer, sinus ne ponavlja vrednosti na intervalu [−π2,π2]\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right], pa arcsin⁡x\arcsin x uvek vraća ugao iz tog intervala. Zbog toga:

arcsin⁡12=π6\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}

a ne 5π6\dfrac{5\pi}{6}, iako oba ugla imaju sinus jednak 12\dfrac{1}{2}.

Domeni i kodomeni

FunkcijaDomenKodomen
y=arcsin⁡xy = \arcsin x[−1,1][-1, 1][−π2,π2]\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]
y=arccos⁡xy = \arccos x[−1,1][-1, 1][0,π]\left[0, \pi\right]
y=arctg⁡xy = \operatorname{arctg} xR\mathbb{R}(−π2,π2)\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)
y=arcctg⁡xy = \operatorname{arcctg} xR\mathbb{R}(0,π)\left(0, \pi\right)

Pre svakog izračunavanja treba proveriti da li argument pripada domenu. Na primer, arcsin⁡π3\arcsin\frac{\pi}{3} nije definisano jer je π3≈1,047>1\frac{\pi}{3} \approx 1{,}047 > 1, što je van intervala [−1,1][-1, 1].

Osnovni identiteti

arcsin⁡x+arccos⁡x=π2\boxed{\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}}

arcsin⁡x\arcsin x vraća ugao α\alpha takav da sin⁡α=x\sin\alpha = x. Važi sin⁡α=cos⁡ ⁣(π2−α)\sin\alpha = \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right), dakle arccos⁡x=π2−α\arccos x = \dfrac{\pi}{2} - \alpha. Sabiranjem:

arcsin⁡x+arccos⁡x=α+π2−α=π2\arcsin x + \arccos x = \alpha + \frac{\pi}{2} - \alpha = \frac{\pi}{2}

Intuicija: arcsin⁡\arcsin i arccos⁡\arccos istog broja su uvek komplementarni uglovi, jer sinus jednog ugla jednak je kosinusu komplementarnog.

arctg⁡x+arcctg⁡x=π2\boxed{\operatorname{arctg} x + \operatorname{arcctg} x = \dfrac{\pi}{2}}

Isti rezon. Neka je α=arctg⁡x\alpha = \operatorname{arctg} x, dakle tg⁡α=x\operatorname{tg}\alpha = x. Iz veze ctg⁡ ⁣(π2−α)=tg⁡α=x\operatorname{ctg}\!\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \operatorname{tg}\alpha = x sledi arcctg⁡x=π2−α\operatorname{arcctg} x = \dfrac{\pi}{2} - \alpha, pa je zbir jednak π2\dfrac{\pi}{2}.

arcsin⁡(−x)=−arcsin⁡x\boxed{\arcsin(-x) = -\arcsin x}

arctg⁡(−x)=−arctg⁡x\boxed{\arctg(-x) = -\arctg x}

Sinus je neparna funkcija: sin⁡(−α)=−sin⁡α\sin(-\alpha) = -\sin\alpha. Ako arcsin⁡x=α\arcsin x = \alpha, onda je sin⁡(−α)=−x\sin(-\alpha) = -x, a −α-\alpha leži u istom kodomenu [−π2,π2]\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] jer je interval simetričan oko nule. Dakle arcsin⁡(−x)=−α=−arcsin⁡x\arcsin(-x) = -\alpha = -\arcsin x.

Isto važi za arctg⁡\operatorname{arctg}, jer je i tangens neparna funkcija, a kodomen (−π2,π2)\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right) je simetričan.

arccos⁡(−x)=π−arccos⁡x\boxed{\arccos(-x) = \pi - \arccos x}

Kosinus nije neparna funkcija, pa formula izgleda drugačije. Neka je arccos⁡x=α\arccos x = \alpha, dakle cos⁡α=x\cos\alpha = x. Tada −x=−cos⁡α=cos⁡(π−α)-x = -\cos\alpha = \cos(\pi - \alpha). Pošto α∈[0,π]\alpha \in [0, \pi], važi π−α∈[0,π]\pi - \alpha \in [0, \pi], dakle π−α\pi - \alpha leži u kodomenu arkuskosinusa. Zaključujemo arccos⁡(−x)=π−α=π−arccos⁡x\arccos(-x) = \pi - \alpha = \pi - \arccos x.

Intuicija: kodomen arccos⁡\arccos je [0,π][0, \pi], koji nije simetričan oko nule, pa negativni argument ne daje prosto negaciju, već "ogledalni" ugao oko π2\dfrac{\pi}{2}.

Kompozicija arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x) = x

Ovo važi samo ako xx već leži u kodomenu arkussinusa, tj. x∈[−π2,π2]x \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]. U tom slučaju arcsin⁡\arcsin i sin⁡\sin su direktno inverzi jedno drugom i poništavaju se. Ako xx nije u tom intervalu, arcsin⁡\arcsin vraća drugi ugao sa istim sinusom, pa jednakost ne važi.

arcsin⁡(sin⁡x)=xza x∈[−π2,π2]\boxed{\arcsin(\sin x) = x \quad \text{za } x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]}

arccos⁡(cos⁡x)=xza x∈[0,π]\boxed{\arccos(\cos x) = x \quad \text{za } x \in [0, \pi]}

arctg⁡(tg⁡x)=xza x∈(−π2,π2)\boxed{\operatorname{arctg}(\operatorname{tg} x) = x \quad \text{za } x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)}

Primeri

Direktno izračunavanje

Zadatak. Izračunati arcsin⁡22\arcsin\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Tražimo yy takvo da sin⁡y=22\sin y = \dfrac{\sqrt{2}}{2} i y∈[−π2,π2]y \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right].

Iz tabele: sin⁡π4=22\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, i π4∈[−π2,π2]\dfrac{\pi}{4} \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right].

arcsin⁡22=π4\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}

Zadatak. Izračunati arccos⁡ ⁣(−32)\arccos\!\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).

Koristimo identitet arccos⁡(−x)=π−arccos⁡x\arccos(-x) = \pi - \arccos x:

arccos⁡ ⁣(−32)=π−arccos⁡32=π−π6=5π6\arccos\!\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}

Zadatak. Izračunati arctg⁡(−3)\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}).

Koristimo arctg⁡(−x)=−arctg⁡x\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg} x (tangens je neparna funkcija):

arctg⁡(−3)=−arctg⁡3=−π3\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\operatorname{arctg}\sqrt{3} = -\frac{\pi}{3}

Proveravamo: −π3∈(−π2,π2)-\dfrac{\pi}{3} \in \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right) ✓\checkmark

Provera domena

Zadatak. Izračunati arcsin⁡π3\arcsin\dfrac{\pi}{3}.

Proveravamo argument: π3≈1,047>1\dfrac{\pi}{3} \approx 1{,}047 > 1.

Pošto π3∉[−1,1]\dfrac{\pi}{3} \notin [-1, 1], izraz arcsin⁡π3\arcsin\dfrac{\pi}{3} nije definisan u skupu realnih brojeva.

Primena identiteta

Zadatak. Izračunati arccos⁡17+arccos⁡ ⁣(−17)\arccos\dfrac{1}{7} + \arccos\!\left(-\dfrac{1}{7}\right).

Primenjujemo arccos⁡(−x)=π−arccos⁡x\arccos(-x) = \pi - \arccos x:

arccos⁡17+(π−arccos⁡17)=π\arccos\frac{1}{7} + \left(\pi - \arccos\frac{1}{7}\right) = \pi

Zadatak. Izračunati arcsin⁡13+arccos⁡13\arcsin\dfrac{1}{3} + \arccos\dfrac{1}{3}.

Direktno primenjujemo arcsin⁡x+arccos⁡x=π2\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2} za x=13∈[−1,1]x = \dfrac{1}{3} \in [-1, 1]:

arcsin⁡13+arccos⁡13=π2\arcsin\frac{1}{3} + \arccos\frac{1}{3} = \frac{\pi}{2}

Izračunavanje trigonometrijske funkcije od inverzne

Zadatak. Izračunati tg⁡ ⁣(arcsin⁡1213)\operatorname{tg}\!\left(\arcsin\dfrac{12}{13}\right).

Uvedemo smenu α=arcsin⁡1213\alpha = \arcsin\dfrac{12}{13}, odakle sin⁡α=1213\sin\alpha = \dfrac{12}{13} i α∈(0,π2)\alpha \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right) (argument pozitivan, ugao u prvom kvadrantu).

Računamo kosinus (u prvom kvadrantu pozitivan):

cos⁡α=1−sin⁡2α=1−144169=25169=513\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}

Tangens:

tg⁡ ⁣(arcsin⁡1213)=sin⁡αcos⁡α=1213513=125\operatorname{tg}\!\left(\arcsin\frac{12}{13}\right) = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = \frac{12}{5}

Složeni izrazi sa inverznim funkcijama

Zadatak. Izračunati arcsin⁡ ⁣(cos⁡33π5)\arcsin\!\left(\cos\dfrac{33\pi}{5}\right).

Korak 1. Svodimo ugao koristeci periodičnost: 33π5=6π+3π5  ⟹  cos⁡33π5=cos⁡3π5\frac{33\pi}{5} = 6\pi + \frac{3\pi}{5} \implies \cos\frac{33\pi}{5} = \cos\frac{3\pi}{5}

Korak 2. Pretvaramo kosinus u sinus koristeći cos⁡x=sin⁡ ⁣(π2−x)\cos x = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right): cos⁡3π5=sin⁡ ⁣(π2−3π5)=sin⁡ ⁣(−π10)\cos\frac{3\pi}{5} = \sin\!\left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{5}\right) = \sin\!\left(-\frac{\pi}{10}\right)

Korak 3. Primenjujemo arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x) = x jer −π10∈[−π2,π2]-\dfrac{\pi}{10} \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]: arcsin⁡ ⁣(cos⁡33π5)=−π10\arcsin\!\left(\cos\frac{33\pi}{5}\right) = -\frac{\pi}{10}

Dokazivanje identiteta

Zadatak. Dokazati: arctg⁡(−x)=−arctg⁡x\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg} x.

Neka je y=arctg⁡(−x)y = \operatorname{arctg}(-x), dakle tg⁡y=−x\operatorname{tg} y = -x i y∈(−π2,π2)y \in \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right).

Pošto je tangens neparna funkcija, važi −tg⁡y=tg⁡(−y)-\operatorname{tg} y = \operatorname{tg}(-y), pa: x=tg⁡(−y),−y∈(−π2,π2)x = \operatorname{tg}(-y), \quad -y \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

Po definiciji arkustangensa: arctg⁡x=−y\operatorname{arctg} x = -y, odakle y=−arctg⁡xy = -\operatorname{arctg} x.

Vraćamo smenu: arctg⁡(−x)=−arctg⁡x\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg} x ✓\checkmark

Zadatak. Dokazati: arctg⁡x+arcctg⁡x=π2\operatorname{arctg} x + \operatorname{arcctg} x = \dfrac{\pi}{2}.

Neka je α=arctg⁡x\alpha = \operatorname{arctg} x, dakle tg⁡α=x\operatorname{tg}\alpha = x i α∈(−π2,π2)\alpha \in \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right).

Iz veze: ctg⁡ ⁣(π2−α)=tg⁡α=x\operatorname{ctg}\!\left(\dfrac{\pi}{2} - \alpha\right) = \operatorname{tg}\alpha = x.

Proveravamo da li π2−α∈(0,π)\dfrac{\pi}{2} - \alpha \in (0, \pi): pošto α∈(−π2,π2)\alpha \in \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right), sledi π2−α∈(0,π)\dfrac{\pi}{2} - \alpha \in (0, \pi) ✓\checkmark

Po definiciji arkuskotangensa: arcctg⁡x=π2−α=π2−arctg⁡x\operatorname{arcctg} x = \dfrac{\pi}{2} - \alpha = \dfrac{\pi}{2} - \operatorname{arctg} x.

arctg⁡x+arcctg⁡x=π2✓\operatorname{arctg} x + \operatorname{arcctg} x = \frac{\pi}{2} \checkmark

Zadatak. Dokazati: arccos⁡(−x)=π−arccos⁡x\arccos(-x) = \pi - \arccos x.

Neka je α=arccos⁡x\alpha = \arccos x, dakle cos⁡α=x\cos\alpha = x i α∈[0,π]\alpha \in [0, \pi].

Množimo sa −1-1: −x=−cos⁡α=cos⁡(π−α)-x = -\cos\alpha = \cos(\pi - \alpha).

Proveravamo interval: iz α∈[0,π]\alpha \in [0, \pi] sledi π−α∈[0,π]\pi - \alpha \in [0, \pi] ✓\checkmark

Po definiciji arkuskosinusa: arccos⁡(−x)=π−α=π−arccos⁡x\arccos(-x) = \pi - \alpha = \pi - \arccos x ✓\checkmark

Lekcije iz iste oblasti

5 lekcija

Uopštavanje pojma ugla

Osnovne relacije između trigonometrijskih funkcija

Svođenje trigonometrijskih funkcija na oštar ugao

Adicione formule

Trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla

Zadaci za vežbanje

10 ukupno

Izračunati vrednost izraza: arccos⁡(−1). \arccos(-1) .

Uvodni

Izračunati vrednost izraza: arcsin⁡12. \arcsin \frac{1}{2} .

Uvodni

Izračunati vrednost izraza: arccos⁡(−32). \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) .

Uvodni

Izračunati vrednost izraza: arctg(−3). \text{arctg}(-\sqrt{3}) .

Uvodni

Izračunati vrednost izraza: arcsin⁡π3. \arcsin \frac{\pi}{3} .

arcsin⁡π3\arcsin \frac{\pi}{3}
Uvodni

Izračunati vrednost izraza: arcsin⁡22. \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} .

Uvodni

Izračunati vrednost izraza: arcctg0 \text{arcctg} 0

Uvodni

Izračunati: arctg(1+2)−arctg(1−2). \text{arctg}(1 + \sqrt{2}) - \text{arctg}(1 - \sqrt{2}) .

Srednji

Izračunati:

arctg(ctg8π3)\text{arctg}\left(\text{ctg}\frac{8\pi}{3}\right)
Srednji

Izračunati:

arctg 2+arctg 12\text{arctg } 2 + \text{arctg } \frac{1}{2}
Srednji