2783. Inverzne trignometrijske funkcije

Primetimo vezu između argumenata $1 + \sqrt{2}$ i $1 - \sqrt{2} .$ Izračunajmo njihov proizvod:

(1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2}) = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1

Iz dobijene jednakosti možemo izraziti $1 - \sqrt{2} :$

1 - \sqrt{2} = \frac{-1}{1 + \sqrt{2}}

Zamenimo ovo u drugi sabirak početnog izraza:

\text{arctg}(1 - \sqrt{2}) = \text{arctg}\left(\frac{-1}{1 + \sqrt{2}}\right)

Koristimo osobinu neparnosti funkcije arkustangens, odnosno $\text{arctg}(-x) = -\text{arctg}x :$

\text{arctg}\left(\frac{-1}{1 + \sqrt{2}}\right) = -\text{arctg}\left(\frac{1}{1 + \sqrt{2}}\right)

Za svako $x > 0$ važi identitet $\text{arctg}\left(\frac{1}{x}\right) = \text{arcctg}x .$ Pošto je $1 + \sqrt{2} > 0 ,$ primenjujemo ovo pravilo:

-\text{arctg}\left(\frac{1}{1 + \sqrt{2}}\right) = -\text{arcctg}(1 + \sqrt{2})

Vratimo se na početni izraz i zamenimo dobijeni rezultat za drugi sabirak:

\text{arctg}(1 + \sqrt{2}) - \text{arctg}(1 - \sqrt{2}) = \text{arctg}(1 + \sqrt{2}) - (-\text{arcctg}(1 + \sqrt{2}))

Sredimo izraz oslobađanjem od zagrade:

\text{arctg}(1 + \sqrt{2}) + \text{arcctg}(1 + \sqrt{2})

Koristimo poznati identitet koji povezuje arkustangens i arkuskotangens, $\text{arctg}x + \text{arcctg}x = \frac{\pi}{2}$ za svako $x \in \mathbb{R} :$

\text{arctg}(1 + \sqrt{2}) + \text{arcctg}(1 + \sqrt{2}) = \frac{\pi}{2}

875.d