Arkus tangens: arctg 2 + arctg 1/2

Neka je $\alpha = \text{arctg } 2$ i $\beta = \text{arctg } \frac{1}{2} .$ Tada na osnovu definicije arkustangensa važi:

\text{tg } \alpha = 2 \quad \text{i} \quad \text{tg } \beta = \frac{1}{2}

Pošto su vrednosti tangensa pozitivne, uglovi $\alpha$ i $\beta$ se nalaze u prvom kvadrantu:

\alpha, \beta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)

Primetimo vezu između tangensa ova dva ugla:

\text{tg } \beta = \frac{1}{2} = \frac{1}{\text{tg } \alpha} = \text{ctg } \alpha

Znamo da važi trigonometrijski identitet $\text{ctg } \alpha = \text{tg } \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) ,$ pa možemo pisati:

\text{tg } \beta = \text{tg } \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)

S obzirom na to da $\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) ,$ sledi da i $\frac{\pi}{2} - \alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) .$ Pošto su oba ugla u intervalu gde je funkcija tangens injektivna (rastuća), možemo izjednačiti argumente:

\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha

Prebacivanjem $\alpha$ na levu stranu dobijamo traženi zbir:

\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}

Vraćanjem početnih smena dobijamo konačan rezultat:

\text{arctg } 2 + \text{arctg } \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2}

Započni učenje

Online časovi

875.g

Beleške