2687.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Dokazati jednakosti:

tg 9∘−tg 27∘−tg 63∘+tg 81∘=4\text{tg } 9^\circ - \text{tg } 27^\circ - \text{tg } 63^\circ + \text{tg } 81^\circ = 4
REŠENJE ZADATKA

Koristimo osobinu komplementarnih uglova tg (90∘−α)=ctg α \text{tg } (90^\circ - \alpha) = \text{ctg } \alpha da bismo transformisali treći i četvrti član:

tg 81∘=tg (90∘−9∘)=ctg 9∘tg 63∘=tg (90∘−27∘)=ctg 27∘\text{tg } 81^\circ = \text{tg } (90^\circ - 9^\circ) = \text{ctg } 9^\circ \\ \text{tg } 63^\circ = \text{tg } (90^\circ - 27^\circ) = \text{ctg } 27^\circ

Zamenjujemo ove vrednosti u početni izraz:

tg 9∘−tg 27∘−ctg 27∘+ctg 9∘\text{tg } 9^\circ - \text{tg } 27^\circ - \text{ctg } 27^\circ + \text{ctg } 9^\circ

Grupišemo članove sa istim uglovima:

(tg 9∘+ctg 9∘)−(tg 27∘+ctg 27∘)(\text{tg } 9^\circ + \text{ctg } 9^\circ) - (\text{tg } 27^\circ + \text{ctg } 27^\circ)

Izvodimo opštu formulu za zbir tangensa i kotangensa istog ugla tg α+ctg α: \text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha :

tg α+ctg α=sin⁡αcos⁡α+cos⁡αsin⁡α=sin⁡2α+cos⁡2αsin⁡αcos⁡α\text{tg } \alpha + \text{ctg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 i formulu za sinus dvostrukog ugla sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α: \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha :

1sin⁡αcos⁡α=22sin⁡αcos⁡α=2sin⁡2α\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{2}{2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{2}{\sin 2\alpha}

Primenjujemo dobijenu formulu na naše grupisane članove za α=9∘ \alpha = 9^\circ i α=27∘: \alpha = 27^\circ :

tg 9∘+ctg 9∘=2sin⁡18∘tg 27∘+ctg 27∘=2sin⁡54∘\text{tg } 9^\circ + \text{ctg } 9^\circ = \frac{2}{\sin 18^\circ} \\ \text{tg } 27^\circ + \text{ctg } 27^\circ = \frac{2}{\sin 54^\circ}

Zamenjujemo dobijene razlomke nazad u izraz:

2sin⁡18∘−2sin⁡54∘\frac{2}{\sin 18^\circ} - \frac{2}{\sin 54^\circ}

Izvlačimo zajednički faktor 2 i svodimo na zajednički imenilac:

2(sin⁡54∘−sin⁡18∘sin⁡18∘sin⁡54∘)2 \left( \frac{\sin 54^\circ - \sin 18^\circ}{\sin 18^\circ \sin 54^\circ} \right)

Transformišemo razliku sinusa u brojiocu u proizvod koristeći formulu sin⁡α−sin⁡β=2sin⁡α−β2cos⁡α+β2: \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \cos \frac{\alpha + \beta}{2} :

sin⁡54∘−sin⁡18∘=2sin⁡(54∘−18∘2)cos⁡(54∘+18∘2)\sin 54^\circ - \sin 18^\circ = 2 \sin \left( \frac{54^\circ - 18^\circ}{2} \right) \cos \left( \frac{54^\circ + 18^\circ}{2} \right)

Računamo vrednosti uglova u brojiocu:

2sin⁡18∘cos⁡36∘2 \sin 18^\circ \cos 36^\circ

Zamenjujemo transformisani brojilac nazad u razlomak:

2(2sin⁡18∘cos⁡36∘sin⁡18∘sin⁡54∘)2 \left( \frac{2 \sin 18^\circ \cos 36^\circ}{\sin 18^\circ \sin 54^\circ} \right)

Skraćujemo sin⁡18∘ \sin 18^\circ u brojiocu i imeniocu i množimo konstante:

4cos⁡36∘sin⁡54∘\frac{4 \cos 36^\circ}{\sin 54^\circ}

Koristimo osobinu komplementarnih uglova za imenilac sin⁡54∘=sin⁡(90∘−36∘)=cos⁡36∘: \sin 54^\circ = \sin (90^\circ - 36^\circ) = \cos 36^\circ :

4cos⁡36∘cos⁡36∘\frac{4 \cos 36^\circ}{\cos 36^\circ}

Skraćujemo cos⁡36∘ \cos 36^\circ čime dobijamo konačan rezultat, što dokazuje početnu jednakost:

44

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti