2679. Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

Polazimo od leve strane jednakosti. Prvo ćemo primeniti formulu za zbir kubova $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ na izraz u zagradi.

\cos^3 20^\circ + \cos^3 40^\circ = (\cos 20^\circ + \cos 40^\circ)(\cos^2 20^\circ - \cos 20^\circ \cos 40^\circ + \cos^2 40^\circ)

Transformišimo prvi činilac $\cos 20^\circ + \cos 40^\circ$ koristeći formulu za zbir kosinusa $\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} .$

\cos 20^\circ + \cos 40^\circ = 2\cos\frac{20^\circ+40^\circ}{2}\cos\frac{20^\circ-40^\circ}{2} = 2\cos 30^\circ \cos(-10^\circ)

Pošto je kosinus parna funkcija ( $\cos(-x) = \cos x$ ) i $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} ,$ dobijamo:

2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 10^\circ = \sqrt{3}\cos 10^\circ

Sada posmatramo drugi činilac. Primenjujemo formule za polovinu ugla $\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$ na kvadrate kosinusa.

\cos^2 20^\circ + \cos^2 40^\circ = \frac{1+\cos 40^\circ}{2} + \frac{1+\cos 80^\circ}{2} = 1 + \frac{1}{2}(\cos 40^\circ + \cos 80^\circ)

Za srednji član drugog činioca koristimo datu formulu za proizvod kosinusa $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) .$

\cos 20^\circ \cos 40^\circ = \frac{1}{2}(\cos(20^\circ + 40^\circ) + \cos(20^\circ - 40^\circ)) = \frac{1}{2}(\cos 60^\circ + \cos 20^\circ)

Zamenjujemo poznatu vrednost $\cos 60^\circ = \frac{1}{2} .$

\cos 20^\circ \cos 40^\circ = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} + \cos 20^\circ\right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos 20^\circ

Vraćamo sve transformisane delove u izraz za drugi činilac.

\left(1 + \frac{1}{2}(\cos 40^\circ + \cos 80^\circ)\right) - \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos 20^\circ\right) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2}(\cos 40^\circ + \cos 80^\circ) - \frac{1}{2}\cos 20^\circ

Primenjujemo formulu za zbir kosinusa na $\cos 40^\circ + \cos 80^\circ .$

\cos 40^\circ + \cos 80^\circ = 2\cos\frac{40^\circ+80^\circ}{2}\cos\frac{40^\circ-80^\circ}{2} = 2\cos 60^\circ \cos(-20^\circ) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cos 20^\circ = \cos 20^\circ

Zamenjujemo ovaj rezultat nazad u izraz za drugi činilac.

\frac{3}{4} + \frac{1}{2}\cos 20^\circ - \frac{1}{2}\cos 20^\circ = \frac{3}{4}

Konačno, množimo sve dobijene delove sa 4, kako je zadato na početku.

4 \cdot (\sqrt{3}\cos 10^\circ) \cdot \frac{3}{4} = 3\sqrt{3}\cos 10^\circ

Dobili smo izraz koji je jednak desnoj strani početne jednakosti, čime je dokaz završen.

3\sqrt{3}\cos 10^\circ = 3\sqrt{3}\cos 10^\circ

775.v