2678. Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

Grupišemo članove na levoj strani jednakosti kako bismo primenili odgovarajuće trigonometrijske formule.

\cos(54^\circ - \alpha) - \cos(54^\circ + \alpha) - (\cos(18^\circ - \alpha) - \cos(18^\circ + \alpha))

Na osnovu formule $\sin x \sin y = \frac{1}{2}(\cos(x - y) - \cos(x + y)) ,$ množenjem sa 2 dobijamo $\cos(x - y) - \cos(x + y) = 2 \sin x \sin y .$ Primenjujemo ovo na obe grupe.

2 \sin 54^\circ \sin \alpha - 2 \sin 18^\circ \sin \alpha

Izvlačimo zajednički faktor $2 \sin \alpha$ ispred zagrade.

2 \sin \alpha (\sin 54^\circ - \sin 18^\circ)

Sada transformišemo izraz u zagradi $\sin 54^\circ - \sin 18^\circ$ koristeći formulu za razliku sinusa: $\sin x - \sin y = 2 \sin\frac{x-y}{2} \cos\frac{x+y}{2} .$

\sin 54^\circ - \sin 18^\circ = 2 \sin\left(\frac{54^\circ - 18^\circ}{2}\right) \cos\left(\frac{54^\circ + 18^\circ}{2}\right) = 2 \sin 18^\circ \cos 36^\circ

Da bismo odredili vrednost ovog proizvoda, množimo i delimo izraz sa $\cos 18^\circ .$

2 \sin 18^\circ \cos 36^\circ = \frac{2 \sin 18^\circ \cos 18^\circ \cos 36^\circ}{\cos 18^\circ}

Primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla $2 \sin x \cos x = \sin 2x$ na deo brojioca.

\frac{\sin 36^\circ \cos 36^\circ}{\cos 18^\circ}

Množimo i delimo brojilac sa 2 kako bismo ponovo primenili formulu za sinus dvostrukog ugla.

\frac{\frac{1}{2} \cdot 2 \sin 36^\circ \cos 36^\circ}{\cos 18^\circ} = \frac{\frac{1}{2} \sin 72^\circ}{\cos 18^\circ}

Koristimo osobinu komplementarnih uglova $\sin(90^\circ - x) = \cos x$ da zamenimo $\sin 72^\circ$ sa $\cos 18^\circ$ i skratimo razlomak.

\frac{\frac{1}{2} \cos 18^\circ}{\cos 18^\circ} = \frac{1}{2}

Vraćamo dobijenu vrednost nazad u izraz iz kog smo izvukli zajednički faktor.

2 \sin \alpha \cdot \frac{1}{2} = \sin \alpha

Sređivanjem izraza dobijamo desnu stranu jednakosti, čime je dokaz završen.

\sin \alpha = \sin \alpha

775.g