Dokaz jednakosti: sin na treći α puta (1 + ctg α)

Polazimo od leve strane jednakosti. Zapisujemo kotangens i tangens preko sinusa i kosinusa:

\sin^3 \alpha \left(1 + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right) + \cos^3 \alpha \left(1 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)

Množimo izraze u zagradama sa odgovarajućim faktorima ispred njih:

\sin^3 \alpha + \sin^2 \alpha \cos \alpha + \cos^3 \alpha + \cos^2 \alpha \sin \alpha

Grupišemo prvi i drugi, kao i treći i četvrti sabirak, i izvlačimo zajedničke faktore:

\sin^2 \alpha (\sin \alpha + \cos \alpha) + \cos^2 \alpha (\cos \alpha + \sin \alpha)

Sada izvlačimo zajednički faktor $\sin \alpha + \cos \alpha$ ispred zagrade:

(\sin \alpha + \cos \alpha)(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 :$

\sin \alpha + \cos \alpha

Da bismo dobili traženi izraz na desnoj strani, množimo i delimo dobijeni zbir sa $\sqrt{2} :$

\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha \right)

Zamenjujemo vrednost $\frac{\sqrt{2}}{2}$ sa odgovarajućim trigonometrijskim funkcijama ugla $\frac{\pi}{4} :$

\sqrt{2} \left( \sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha + \cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha \right)

Primenjujemo adicionu formulu za kosinus razlike $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y :$

\sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)

Dobili smo desnu stranu jednakosti, čime je dokaz završen.

\sin^3 \alpha(1 + \text{ctg } \alpha) + \cos^3 \alpha(1 + \text{tg } \alpha) = \sqrt{2} \cos\left(\frac{\pi}{4} - \alpha\right)

775.d