776

Zapišimo dati izraz preko sinusa i kosinusa. Koristićemo identitet za razliku tangensa koji se dobija svođenjem na zajednički imenilac:

Primenimo ovaj identitet na naš izraz, gde je $x = \frac{5\pi}{4} + \alpha$ i $y = \frac{5\pi}{4} - \alpha .$ Prvo računamo razliku argumenata u brojiocu:

Na osnovu toga, brojilac našeg izraza postaje $\sin(2\alpha) ,$ pa ceo izraz možemo zapisati kao:

Sada transformišemo imenilac koristeći formulu za proizvod kosinusa:

Računamo zbir argumenata $x + y$ za primenu u formuli:

Zamenjujemo zbir i razliku argumenata u formulu za proizvod kosinusa:

Znamo da je kosinus od $\frac{5\pi}{2}$ jednak nuli, jer je $\frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} ,$ pa se imenilac znatno pojednostavljuje:

Vraćamo dobijeni imenilac u razlomak iz koraka 3:

Prepoznajemo da je količnik sinusa i kosinusa istog ugla jednak tangensu tog ugla:

Na kraju, koristimo podatak iz zadatka da je $\text{tg } 2\alpha = 3$ i zamenjujemo ga u dobijeni izraz:

Ovim smo uspešno pokazali da je vrednost početnog izraza jednaka 6.