Uprosti izraz: 1 − sin kvadrat α − sin kvadrat β

Primenjujemo formulu za pretvaranje proizvoda sinusa u zbir na deo izraza $2 \sin \alpha \sin \beta .$

2 \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)

Zamenjujemo dobijeni izraz u početni zadatak.

1 - \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta + (\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) \cos(\alpha - \beta)

Množimo zagradu sa $\cos(\alpha - \beta) .$

1 - \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta + \cos^2(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta)

Grupišemo prva dva člana i koristimo osnovni trigonometrijski identitet $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha .$

\cos^2 \alpha - \sin^2 \beta + \cos^2(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta)

Sada ćemo uprostiti proizvod $\cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta)$ koristeći adicione formule za kosinus zbira i razlike.

\cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) = (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta)(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta)

Prepoznajemo razliku kvadrata i primenjujemo je.

(\cos \alpha \cos \beta)^2 - (\sin \alpha \sin \beta)^2 = \cos^2 \alpha \cos^2 \beta - \sin^2 \alpha \sin^2 \beta

Izražavamo $\cos^2 \beta$ kao $1 - \sin^2 \beta$ i $\sin^2 \alpha$ kao $1 - \cos^2 \alpha$ kako bismo sve sveli na iste funkcije.

\cos^2 \alpha (1 - \sin^2 \beta) - (1 - \cos^2 \alpha) \sin^2 \beta

Množimo članove i skraćujemo suprotne vrednosti.

\cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha \sin^2 \beta - \sin^2 \beta + \cos^2 \alpha \sin^2 \beta = \cos^2 \alpha - \sin^2 \beta

Zamenjujemo ovaj rezultat nazad u izraz iz koraka 4.

(\cos^2 \alpha - \sin^2 \beta) + \cos^2(\alpha - \beta) - (\cos^2 \alpha - \sin^2 \beta)

Skraćujemo suprotne članove i dobijamo konačan, uprošćen rezultat.

\cos^2(\alpha - \beta)

777