2659.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet: (cos⁡α+cos⁡β)2+(sin⁡α+sin⁡β)2=4cos⁡2α−β2. (\cos \alpha + \cos \beta)^2 + (\sin \alpha + \sin \beta)^2 = 4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2} .

REŠENJE ZADATKA

Počinjemo od leve strane identiteta i primenjujemo formule za transformaciju zbira trigonometrijskih funkcija u proizvod.

cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \\ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}

Zamenjujemo dobijene proizvode u početni izraz na levoj strani.

L=(2cos⁡α+β2cos⁡α−β2)2+(2sin⁡α+β2cos⁡α−β2)2L = \left( 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \right)^2 + \left( 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \right)^2

Kvadriramo svaki član unutar zagrada.

L=4cos⁡2α+β2cos⁡2α−β2+4sin⁡2α+β2cos⁡2α−β2L = 4 \cos^2 \frac{\alpha + \beta}{2} \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2} + 4 \sin^2 \frac{\alpha + \beta}{2} \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}

Uočavamo zajednički faktor 4cos⁡2α−β2 4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2} i izvlačimo ga ispred zagrade.

L=4cos⁡2α−β2(cos⁡2α+β2+sin⁡2α+β2)L = 4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2} \left( \cos^2 \frac{\alpha + \beta}{2} + \sin^2 \frac{\alpha + \beta}{2} \right)

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2x+cos⁡2x=1 \sin^2 x + \cos^2 x = 1 za izraz u zagradi.

cos⁡2α+β2+sin⁡2α+β2=1\cos^2 \frac{\alpha + \beta}{2} + \sin^2 \frac{\alpha + \beta}{2} = 1

Sređivanjem izraza dobijamo desnu stranu identiteta.

L=4cos⁡2α−β2⋅1=4cos⁡2α−β2L = 4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2} \cdot 1 = 4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}

Ovim je identitet dokazan jer je leva strana jednaka desnoj.

L=DL = D

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti