Zbir u proizvod: (cos α + cos β) na kvadrat

Počinjemo od leve strane identiteta i primenjujemo formule za transformaciju zbira trigonometrijskih funkcija u proizvod.

\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \\ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}

Zamenjujemo dobijene proizvode u početni izraz na levoj strani.

L = \left( 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \right)^2 + \left( 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} \right)^2

Kvadriramo svaki član unutar zagrada.

L = 4 \cos^2 \frac{\alpha + \beta}{2} \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2} + 4 \sin^2 \frac{\alpha + \beta}{2} \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}

Uočavamo zajednički faktor $4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}$ i izvlačimo ga ispred zagrade.

L = 4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2} \left( \cos^2 \frac{\alpha + \beta}{2} + \sin^2 \frac{\alpha + \beta}{2} \right)

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ za izraz u zagradi.

\cos^2 \frac{\alpha + \beta}{2} + \sin^2 \frac{\alpha + \beta}{2} = 1

Sređivanjem izraza dobijamo desnu stranu identiteta.

L = 4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2} \cdot 1 = 4 \cos^2 \frac{\alpha - \beta}{2}

Ovim je identitet dokazan jer je leva strana jednaka desnoj.

L = D

769.a