Razlika kosinusa: cos(π/3 − α) − cos(π/3 + α)

Primenjujemo adicionu formulu za transformaciju razlike kosinusa u proizvod: $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A + B}{2} \sin \frac{A - B}{2} .$ U našem slučaju je $A = \frac{\pi}{3} - \alpha$ i $B = \frac{\pi}{3} + \alpha .$

Uvrštavamo vrednosti u formulu:

\cos \left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) - \cos \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right) = -2 \sin \frac{\left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) + \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right)}{2} \sin \frac{\left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) - \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right)}{2}

Sređujemo izraze unutar sinusa. Za prvi sinus imamo:

\frac{\frac{\pi}{3} - \alpha + \frac{\pi}{3} + \alpha}{2} = \frac{\frac{2\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{3}

Za drugi sinus imamo:

\frac{\frac{\pi}{3} - \alpha - \frac{\pi}{3} - \alpha}{2} = \frac{-2\alpha}{2} = -\alpha

Sada izraz postaje:

-2 \sin \left( \frac{\pi}{3} \right) \sin(-\alpha)

Koristimo neparnost sinusne funkcije $\sin(-\alpha) = -\sin \alpha$ i poznatu vrednost $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} :$

-2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\sin \alpha)

Množenjem faktora i skraćivanjem dvojki dobijamo konačan rezultat:

2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin \alpha = \sqrt{3} \sin \alpha

Ovim je identitet dokazan.

\sqrt{3} \sin \alpha = \sqrt{3} \sin \alpha

Započni učenje

Online časovi

765.g

Beleške