2664. Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

Prvo ćemo transformisati sinusni član u kosinusni koristeći formulu komplementarnih uglova $\sin x = \cos \left( \frac{\pi}{2} - x \right) .$

\sin \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right) = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right) \right)

Sredimo izraz unutar zagrade kosinusa:

\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \alpha = \frac{3\pi - \pi}{6} + \alpha = \frac{2\pi}{6} + \alpha = \frac{\pi}{3} + \alpha

Sada polazni izraz na levoj strani možemo zapisati kao zbir dva kosinusa:

\cos \left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) + \cos \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right)

Primenjujemo formulu za zbir kosinusa: $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2} ,$ gde je $A = \frac{\pi}{3} - \alpha$ i $B = \frac{\pi}{3} + \alpha .$

2 \cos \frac{\left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) + \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right)}{2} \cos \frac{\left( \frac{\pi}{3} - \alpha \right) - \left( \frac{\pi}{3} + \alpha \right)}{2}

Sređujemo argumente unutar kosinusa:

2 \cos \frac{\frac{2\pi}{3}}{2} \cos \frac{-2\alpha}{2} = 2 \cos \frac{\pi}{3} \cos(-\alpha)

Koristimo činjenicu da je kosinus parna funkcija $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$ i uvrštavamo poznatu vrednost $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} :$

2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos \alpha = \cos \alpha

Dobili smo da je leva strana jednaka desnoj, čime je identitet dokazan.

\cos \alpha = \cos \alpha

765.v