Razlika sinusa: sin(α + β) − sin(α − β)

Za dokazivanje ovog identiteta koristićemo adicionu formulu za transformaciju razlike sinusa u proizvod:

\sin x - \sin y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2}

U našem slučaju, uvodimo smene za argumente funkcija:

x = \alpha + \beta, \quad y = \alpha - \beta

Primenjujemo formulu na levu stranu identiteta:

\sin (\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta) = 2 \cos \frac{(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)}{2} \sin \frac{(\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)}{2}

Sređujemo izraze unutar zagrada u brojiocima razlomaka:

\begin{aligned} & (\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = \alpha + \beta + \alpha - \beta = 2\alpha \\ & (\alpha + \beta) - (\alpha - \beta) = \alpha + \beta - \alpha + \beta = 2\beta \end{aligned}

Zamenjujemo sređene izraze nazad u formulu:

2 \cos \frac{2\alpha}{2} \sin \frac{2\beta}{2}

Skraćivanjem razlomaka dobijamo krajnji izraz koji odgovara desnoj strani identiteta:

2 \cos \alpha \sin \beta

765.d