2670.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Pokazati da je: sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)=2cos⁡αsin⁡β. \sin (\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta) = 2 \cos \alpha \sin \beta .

REŠENJE ZADATKA

Za dokazivanje ovog identiteta koristićemo adicionu formulu za transformaciju razlike sinusa u proizvod:

sin⁡x−sin⁡y=2cos⁡x+y2sin⁡x−y2\sin x - \sin y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2}

U našem slučaju, uvodimo smene za argumente funkcija:

x=α+β,y=α−βx = \alpha + \beta, \quad y = \alpha - \beta

Primenjujemo formulu na levu stranu identiteta:

sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)=2cos⁡(α+β)+(α−β)2sin⁡(α+β)−(α−β)2\sin (\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta) = 2 \cos \frac{(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta)}{2} \sin \frac{(\alpha + \beta) - (\alpha - \beta)}{2}

Sređujemo izraze unutar zagrada u brojiocima razlomaka:

(α+β)+(α−β)=α+β+α−β=2α(α+β)−(α−β)=α+β−α+β=2β\begin{aligned} & (\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = \alpha + \beta + \alpha - \beta = 2\alpha \\ & (\alpha + \beta) - (\alpha - \beta) = \alpha + \beta - \alpha + \beta = 2\beta \end{aligned}

Zamenjujemo sređene izraze nazad u formulu:

2cos⁡2α2sin⁡2β22 \cos \frac{2\alpha}{2} \sin \frac{2\beta}{2}

Skraćivanjem razlomaka dobijamo krajnji izraz koji odgovara desnoj strani identiteta:

2cos⁡αsin⁡β2 \cos \alpha \sin \beta

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti