2656.

766.a

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz:

1+sin⁡2αsin⁡α+cos⁡α\frac{1 + \sin 2\alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}
REŠENJE ZADATKA

Primetimo da se broj 1 1 može zapisati preko osnovnog trigonometrijskog identiteta kao sin⁡2α+cos⁡2α, \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha , a sinus dvostrukog ugla kao 2sin⁡αcos⁡α. 2 \sin \alpha \cos \alpha .

1=sin⁡2α+cos⁡2αsin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \\ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha

Zamenimo ove izraze u brojilac razlomka:

sin⁡2α+cos⁡2α+2sin⁡αcos⁡αsin⁡α+cos⁡α\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}

Izraz u brojiocu prepoznajemo kao kvadrat binoma (a+b)2=a2+2ab+b2, (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 , gde je a=sin⁡α a = \sin \alpha i b=cos⁡α. b = \cos \alpha .

sin⁡2α+2sin⁡αcos⁡α+cos⁡2α=(sin⁡α+cos⁡α)2\sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)^2

Sada izraz postaje:

(sin⁡α+cos⁡α)2sin⁡α+cos⁡α\frac{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{\sin \alpha + \cos \alpha}

Skraćivanjem brojioca i imenioca sa zajedničkim faktorom sin⁡α+cos⁡α, \sin \alpha + \cos \alpha , dobijamo konačan rezultat:

sin⁡α+cos⁡α\sin \alpha + \cos \alpha