2668.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz: sin⁡α−sin⁡βsin⁡α+sin⁡β. \frac{\sin \alpha - \sin \beta}{\sin \alpha + \sin \beta} .

REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo adicione formule za transformaciju zbira i razlike sinusa u proizvod. Formule koje koristimo su:

sin⁡α−sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β2sin⁡α+sin⁡β=2sin⁡α+β2cos⁡α−β2\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \\ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}

Zamenjujemo brojilac i imenilac dobijenim proizvodima:

sin⁡α−sin⁡βsin⁡α+sin⁡β=2cos⁡α+β2sin⁡α−β22sin⁡α+β2cos⁡α−β2\frac{\sin \alpha - \sin \beta}{\sin \alpha + \sin \beta} = \frac{2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}}{2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}}

Skraćujemo brojilac i imenilac zajedničkim faktorom 2:

cos⁡α+β2sin⁡α−β2sin⁡α+β2cos⁡α−β2\frac{\cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}}{\sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}}

Grupišemo funkcije sa istim argumentima kako bismo prepoznali trigonometrijske funkcije tangens i kotangens:

(cos⁡α+β2sin⁡α+β2)⋅(sin⁡α−β2cos⁡α−β2)\left( \frac{\cos \frac{\alpha + \beta}{2}}{\sin \frac{\alpha + \beta}{2}} \right) \cdot \left( \frac{\sin \frac{\alpha - \beta}{2}}{\cos \frac{\alpha - \beta}{2}} \right)

Koristeći definicije ctgx=cos⁡xsin⁡x \text{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} i tgx=sin⁡xcos⁡x, \text{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x} , dobijamo konačan oblik izraza:

ctgα+β2⋅tgα−β2\text{ctg} \frac{\alpha + \beta}{2} \cdot \text{tg} \frac{\alpha - \beta}{2}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti