2625.

Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

TEKST ZADATKA

Izračunati vrednost trigonometrijskog izraza:

2cos⁡5π12sin⁡π122 \cos \frac{5\pi}{12} \sin \frac{\pi}{12}
REŠENJE ZADATKA

Za rešavanje ovog zadatka koristimo adicionu formulu za transformaciju proizvoda sinusa i kosinusa u zbir:

sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β))\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))

Primetimo da je dati izraz oblika 2cos⁡αsin⁡β. 2 \cos \alpha \sin \beta . Koristeći komutativnost množenja, izraz možemo zapisati kao 2sin⁡βcos⁡α. 2 \sin \beta \cos \alpha . U našem slučaju je α=5π12 \alpha = \frac{5\pi}{12} i β=π12. \beta = \frac{\pi}{12} . Primenjujemo formulu:

2cos⁡5π12sin⁡π12=2⋅12(sin⁡(π12+5π12)+sin⁡(π12−5π12))2 \cos \frac{5\pi}{12} \sin \frac{\pi}{12} = 2 \cdot \frac{1}{2} \left( \sin\left(\frac{\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}\right) \right)

Sređujemo argumente unutar sinusa:

sin⁡(6π12)+sin⁡(−4π12)\sin\left(\frac{6\pi}{12}\right) + \sin\left(-\frac{4\pi}{12}\right)

Skraćujemo razlomke u argumentima i koristimo osobinu neparnosti sinusne funkcije sin⁡(−x)=−sin⁡x: \sin(-x) = -\sin x :

sin⁡π2−sin⁡π3\sin \frac{\pi}{2} - \sin \frac{\pi}{3}

Zamenjujemo poznate vrednosti trigonometrijskih funkcija:

sin⁡π2=1,sin⁡π3=32\sin \frac{\pi}{2} = 1, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Računamo konačan rezultat i izvlačimo zajednički faktor:

1−32=2−32=12(2−3)1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}(2 - \sqrt{3})

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti