2624.

Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

TEKST ZADATKA

Proizvod transformisati u zbir ili razliku: 4cos⁡α2cos⁡αsin⁡3α2. 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \alpha \sin \frac{3\alpha}{2} .

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo grupisati dva faktora i primeniti formulu za proizvod kosinusa: cos⁡xcos⁡y=12(cos⁡(x+y)+cos⁡(x−y)). \cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x + y) + \cos(x - y)) . Transformišemo prva dva člana izraza.

4cos⁡α2cos⁡αsin⁡3α2=4⋅(12(cos⁡(α2+α)+cos⁡(α2−α)))sin⁡3α24 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \alpha \sin \frac{3\alpha}{2} = 4 \cdot \left( \frac{1}{2} \left( \cos(\frac{\alpha}{2} + \alpha) + \cos(\frac{\alpha}{2} - \alpha) \right) \right) \sin \frac{3\alpha}{2}

Sređujemo argumente unutar zagrade. Koristimo osobinu parnosti kosinusa cos⁡(−θ)=cos⁡θ. \cos(-\theta) = \cos \theta .

2(cos⁡3α2+cos⁡(−α2))sin⁡3α2=2(cos⁡3α2+cos⁡α2)sin⁡3α22 \left( \cos \frac{3\alpha}{2} + \cos \left(-\frac{\alpha}{2}\right) \right) \sin \frac{3\alpha}{2} = 2 \left( \cos \frac{3\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} \right) \sin \frac{3\alpha}{2}

Oslobađamo se zagrade množenjem oba člana sa sin⁡3α2. \sin \frac{3\alpha}{2} .

2sin⁡3α2cos⁡3α2+2sin⁡3α2cos⁡α22 \sin \frac{3\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha}{2} + 2 \sin \frac{3\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}

Prvi sabirak prepoznajemo kao formulu za sinus dvostrukog ugla 2sin⁡xcos⁡x=sin⁡2x, 2 \sin x \cos x = \sin 2x , a na drugi sabirak primenjujemo formulu za proizvod sinusa i kosinusa: sin⁡xcos⁡y=12(sin⁡(x+y)+sin⁡(x−y)). \sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x + y) + \sin(x - y)) .

sin⁡(2⋅3α2)+2⋅12(sin⁡(3α2+α2)+sin⁡(3α2−α2))\sin\left(2 \cdot \frac{3\alpha}{2}\right) + 2 \cdot \frac{1}{2} \left( \sin\left(\frac{3\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2}\right) + \sin\left(\frac{3\alpha}{2} - \frac{\alpha}{2}\right) \right)

Sređivanjem argumenata dobijamo konačan zbir.

sin⁡3α+sin⁡2α+sin⁡α\sin 3\alpha + \sin 2\alpha + \sin \alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti