2624. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

Prvo ćemo grupisati dva faktora i primeniti formulu za proizvod kosinusa: $\cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x + y) + \cos(x - y)) .$ Transformišemo prva dva člana izraza.

4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \alpha \sin \frac{3\alpha}{2} = 4 \cdot \left( \frac{1}{2} \left( \cos(\frac{\alpha}{2} + \alpha) + \cos(\frac{\alpha}{2} - \alpha) \right) \right) \sin \frac{3\alpha}{2}

Sređujemo argumente unutar zagrade. Koristimo osobinu parnosti kosinusa $\cos(-\theta) = \cos \theta .$

2 \left( \cos \frac{3\alpha}{2} + \cos \left(-\frac{\alpha}{2}\right) \right) \sin \frac{3\alpha}{2} = 2 \left( \cos \frac{3\alpha}{2} + \cos \frac{\alpha}{2} \right) \sin \frac{3\alpha}{2}

Oslobađamo se zagrade množenjem oba člana sa $\sin \frac{3\alpha}{2} .$

2 \sin \frac{3\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha}{2} + 2 \sin \frac{3\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}

Prvi sabirak prepoznajemo kao formulu za sinus dvostrukog ugla $2 \sin x \cos x = \sin 2x ,$ a na drugi sabirak primenjujemo formulu za proizvod sinusa i kosinusa: $\sin x \cos y = \frac{1}{2}(\sin(x + y) + \sin(x - y)) .$

\sin\left(2 \cdot \frac{3\alpha}{2}\right) + 2 \cdot \frac{1}{2} \left( \sin\left(\frac{3\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2}\right) + \sin\left(\frac{3\alpha}{2} - \frac{\alpha}{2}\right) \right)

Sređivanjem argumenata dobijamo konačan zbir.

\sin 3\alpha + \sin 2\alpha + \sin \alpha

753.ž