2621. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

Prvo ćemo primeniti formulu za proizvod dva kosinusa na prva dva člana izraza: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) .$ U našem slučaju je $\alpha = \frac{x}{2}$ i $\beta = \frac{y}{2} .$

\cos \frac{x}{2} \cos \frac{y}{2} = \frac{1}{2} \left( \cos \left( \frac{x}{2} + \frac{y}{2} \right) + \cos \left( \frac{x}{2} - \frac{y}{2} \right) \right)

Sada dobijeni izraz zamenjujemo u početni zadatak i sređujemo argumente funkcija.

\frac{1}{2} \left( \cos \frac{x+y}{2} + \cos \frac{x-y}{2} \right) \cos \frac{x+y}{2}

Oslobađamo se zagrade množenjem svakog člana sa $\cos \frac{x+y}{2} .$

\frac{1}{2} \left( \cos^2 \frac{x+y}{2} + \cos \frac{x-y}{2} \cos \frac{x+y}{2} \right)

Koristimo formulu za kvadrat kosinusa $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$ na prvi sabirak, i ponovo formulu za proizvod kosinusa na drugi sabirak.

\frac{1}{2} \left( \frac{1 + \cos(x+y)}{2} + \frac{1}{2} \left( \cos \left( \frac{x-y}{2} + \frac{x+y}{2} \right) + \cos \left( \frac{x-y}{2} - \frac{x+y}{2} \right) \right) \right)

Sređujemo argumente unutar druge zagrade. Primetimo da je $\frac{x-y}{2} + \frac{x+y}{2} = x$ i $\frac{x-y}{2} - \frac{x+y}{2} = -y .$ Pošto je kosinus parna funkcija, $\cos(-y) = \cos y .$

\frac{1}{2} \left( \frac{1 + \cos(x+y)}{2} + \frac{1}{2} (\cos x + \cos y) \right)

Izvlačimo zajednički faktor $\frac{1}{2}$ ispred zagrade kako bismo dobili konačan oblik zbira.

\frac{1}{4} (1 + \cos x + \cos y + \cos(x+y))

753.e