2632. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

Za rešavanje ovog zadatka koristimo adicionu formulu za transformaciju proizvoda kosinusa u zbir:

\cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x + y) + \cos(x - y))

Identifikujemo argumente funkcija u datom izrazu:

x = \alpha + \beta, \quad y = 2\alpha + \beta

Primenjujemo formulu na dati izraz:

\cos(\alpha + \beta) \cos(2\alpha + \beta) = \frac{1}{2}(\cos((\alpha + \beta) + (2\alpha + \beta)) + \cos((\alpha + \beta) - (2\alpha + \beta)))

Sređujemo izraze unutar zagrada kosinusa:

(\alpha + \beta) + (2\alpha + \beta) = 3\alpha + 2\beta \\ (\alpha + \beta) - (2\alpha + \beta) = \alpha + \beta - 2\alpha - \beta = -\alpha

Zamenjujemo sređene vrednosti nazad u izraz:

\frac{1}{2}(\cos(3\alpha + 2\beta) + \cos(-\alpha))

Koristimo osobinu parnosti kosinusne funkcije $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$ kako bismo dobili konačan oblik:

\frac{1}{2}(\cos(3\alpha + 2\beta) + \cos \alpha)

753.đ