2619.

Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

TEKST ZADATKA

Proizvod transformisati u zbir ili razliku: 2sin⁡(π4−β)sin⁡(π4+β). 2 \sin \left(\frac{\pi}{4} - \beta\right) \sin \left(\frac{\pi}{4} + \beta\right) .

REŠENJE ZADATKA

Koristimo trigonometrijsku formulu za transformaciju proizvoda sinusa u razliku kosinusa:

sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))

U datom izrazu identifikujemo uglove α \alpha i β: \beta :

α=π4−β,β′=π4+β\alpha = \frac{\pi}{4} - \beta, \quad \beta' = \frac{\pi}{4} + \beta

Primenjujemo formulu na dati izraz, vodeći računa o konstanti 2 ispred proizvoda:

2⋅12[cos⁡((π4−β)−(π4+β))−cos⁡((π4−β)+(π4+β))]2 \cdot \frac{1}{2} \left[ \cos\left( \left(\frac{\pi}{4} - \beta\right) - \left(\frac{\pi}{4} + \beta\right) \right) - \cos\left( \left(\frac{\pi}{4} - \beta\right) + \left(\frac{\pi}{4} + \beta\right) \right) \right]

Sređujemo izraze unutar kosinusa. Prvo računamo razliku uglova:

(π4−β)−(π4+β)=π4−β−π4−β=−2β\left(\frac{\pi}{4} - \beta\right) - \left(\frac{\pi}{4} + \beta\right) = \frac{\pi}{4} - \beta - \frac{\pi}{4} - \beta = -2\beta

Zatim računamo zbir uglova:

(π4−β)+(π4+β)=π4−β+π4+β=2π4=π2\left(\frac{\pi}{4} - \beta\right) + \left(\frac{\pi}{4} + \beta\right) = \frac{\pi}{4} - \beta + \frac{\pi}{4} + \beta = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}

Zamenjujemo dobijene vrednosti nazad u izraz, koristeći činjenicu da je kosinus parna funkcija cos⁡(−2β)=cos⁡(2β): \cos(-2\beta) = \cos(2\beta) :

cos⁡(2β)−cos⁡(π2)\cos(2\beta) - \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)

Znamo da je vrednost cos⁡(π2)=0, \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 , pa dobijamo konačan rezultat:

cos⁡(2β)−0=cos⁡(2β)\cos(2\beta) - 0 = \cos(2\beta)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti