2619. Transformacija proizvoda trigonometrijskih funkcija u zbir ili razliku

Koristimo trigonometrijsku formulu za transformaciju proizvoda sinusa u razliku kosinusa:

\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))

U datom izrazu identifikujemo uglove $\alpha$ i $\beta :$

\alpha = \frac{\pi}{4} - \beta, \quad \beta' = \frac{\pi}{4} + \beta

Primenjujemo formulu na dati izraz, vodeći računa o konstanti 2 ispred proizvoda:

2 \cdot \frac{1}{2} \left[ \cos\left( \left(\frac{\pi}{4} - \beta\right) - \left(\frac{\pi}{4} + \beta\right) \right) - \cos\left( \left(\frac{\pi}{4} - \beta\right) + \left(\frac{\pi}{4} + \beta\right) \right) \right]

Sređujemo izraze unutar kosinusa. Prvo računamo razliku uglova:

\left(\frac{\pi}{4} - \beta\right) - \left(\frac{\pi}{4} + \beta\right) = \frac{\pi}{4} - \beta - \frac{\pi}{4} - \beta = -2\beta

Zatim računamo zbir uglova:

\left(\frac{\pi}{4} - \beta\right) + \left(\frac{\pi}{4} + \beta\right) = \frac{\pi}{4} - \beta + \frac{\pi}{4} + \beta = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}

Zamenjujemo dobijene vrednosti nazad u izraz, koristeći činjenicu da je kosinus parna funkcija $\cos(-2\beta) = \cos(2\beta) :$

\cos(2\beta) - \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)

Znamo da je vrednost $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 ,$ pa dobijamo konačan rezultat:

\cos(2\beta) - 0 = \cos(2\beta)

753.z